3.2.2 空间向量的运算(1) 课件(共17张PPT)

数学北师大版 高二上 3.2.2 空间向量的运算(1) 因为空间中任意两个向量都是共面向量,所以空间中涉及两个向量的运算,都可以由平面向量的运算推广而来,而涉及三个向量的运算时,则需要结合具体情况进行分析. 一、空间向量的加减法 已知空间向量????，????，过空间任意一点????作????????=????，????????=????，再作向量????????，如图，把向量????????叫作空间向量????，????的和． 求空间向量和的运算叫作空间向量的加法． 即????+????=????????+????????=????????． ? ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? ????+???? ? ???? ? ???? ? ???? ? 三角形法则 当空间向量????，????不平行时，过空间任意一点????作????????=????，????????=????，这时????，????，????三点不共线，在平面????????????内，以????????，????????为邻边作□????????????????． 因为????????=????????，所以也有????+????=????????+????????=????????． ? 平行四边形法则 ???? ? ???? ? ???? ? ????+???? ? ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? 由此可见,平面向量求和的平行四边形法则,对空间向量同样适用.由此可证:空间向量的加法满足交换律. 加法交换律：????+????=????+????； ? 空间向量的加法是否满足结合律? 以平行六面体?????????????????????′????′????′????′为例， 一方面：????????+????????+????????′=????????+????????′=????????′． 另一方面：????????+????????+????????′=????????+????????′=????????′． 所以????????+????????+????????′=????????+????????+????????′． ? A B C D A' B' C' D' 与平面向量的加法满足的运算律类似，空间向量的加法也满足如下的运算律： 加法交换律：????+????=????+????；加法结合律：????+????+????=????+????+???? ? 空间向量的加减法应该怎样定义呢？ 与平面向量类似，空间向量????，????的差也可以定义为????+?????，记作?????????，其中?????是????的相反向量． ? ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? ????????? ? 1 ? A B C D A' B' C' D' 2 ? 如图（1）中，?????????=?????????????????=????????+????????=????????+????????=????????． 如图（2）中，????????是????′????′的相反向量，所以?????????????′????′=????????+????????=????????+????????=????????． ? 二、空间向量的数乘运算 与平面向量类似，实数????与空间向量????的乘积仍然是一个向量，记作????????．求实数与空间向量的乘积的运算称为空间向量的数乘运算，向量????????的长度和方向满足： （1）????????=????????． （2）当????>0时，向量????????与向量????方向相同； 当????<0时，向量????????与向量????方向相反； 当????=0时，?????????=????． ? 对于任意一个非零向量????，当????=1????时，????????=????????表示与向量????同方向的单位向量． ? 空间向量的数乘运算满足如下的运算律： （1）????????????=????????????； （2）????+????????=????????+????????； （3）????????+????=????????+????????． 其中，????∈????，????∈????． ? 对任意两个平面向量????，????????≠????，????//????的充要条件是存在实数????，使????=????????． 根据空间向量数乘运算的定义，????????是与向量????共线的向量，因此，对于空间任意两个向量????，????????≠????，若存在实数????，使得????=????????，则????与????共线， 反之，由共线向量的定义，若向量????与????共线且????≠????，则一定存在实数????使得????=????????(其中????=????????，若向量????，????方向相同，则????>0；若向量????，????方向相反，则????<0；若????=????，则????=0)． ? 共线向量基本定理 空间两个向量????，???????? ... ...