2025-2026学年苏科版（2024）八上数学第一章 三角形《神奇的一线三等角》专项练习（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台 2025年八上数学第3周《神奇的一线三等角》 【模型研究】 一线三等角模型（又称K形或M型图）： 1. 建立模型：一线三等角的定义：当某条直线或线段上的依次排列着三个等角时，一组相等角的对边也相等时，首尾两个角所在的三角形全等，我们把这种特殊的全等，叫作“一线三等角”. 2.识别一线三等角模型：在一条直线上出现了三个相等的角，一组相等角的对边也相等时，可证两个三角形全等. 对于有些题，“一线三等角”并非直观、完整地呈现，而是在原图中隐藏了局部或全部结构，因此思维层次随之提升。若我们能充分利用题中所给的已知角或挖掘图中隐藏的特殊角，通过“找角，定线，搭框架”，让模型“现出原形”，则解题思路便会油然而生，豁然开朗。 试在下列图中构造一线三等角 1．如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，AD⊥BD于点D，CE⊥BD于点E，若CE＝5，AD＝3，则DE的长是 　 　 ． 第1题 第2题 第3题 2．如图，在等腰直角三角形ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点B在直线l上，过A作AD⊥l于D，过C作CE⊥l于E．下列给出三个结论：①BD＝CE；②∠BAD与∠BCE互余；③AD+CE＝DE．其中正确结论的序号是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 3．如图，直线l上有三个边长分别为a，b，c的正方形，则有a2+c2　 　 b2（填“＞”或“＜”或“＝”）． 4．如图，AC＝AB＝BD，∠ABD＝90°，BC＝8，则△BCD的面积为（　　） A．8 B．12 C．14 D．16 第4题 第5题 第6题 5．如图，四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝90°，对角线BD⊥CD，若BD＝14，则△ABD的面积为 　 　 ． 6．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为AB边上一点，点F在BC边上，且BF＝1，将点E绕着点F顺时针旋转90°得到点G，连接DG，则DG的长的最小值为 7．如图，△ABC中，∠C＝90°，D为AC上一点，E是AB上一点，且∠BDE＝90°，DB＝DE＝AE，若BC＝5，则AD的长是 　 　 ． 第7题 第8题 第9题 8．直角三角形板中，有一个内角为45°的直角三角形是等腰直角三角形，它的两条直角边长相等．如图，△ABC中，∠ABC＝45°，∠ACB为钝角，以AC为边在右侧作等腰直角三角形ACD，∠ADC＝90°，过点D作DE⊥BC，垂足为E，连接BD，若△BCD的面积为9，则BC长为 　 　 ． 9．如图，△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝6，点D、E分别在BC、AC上（点D不与B、C两点重合），且∠1＝∠C，若AD＝DE，则AE的长为 　 　 ． 10．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝2，△CAD是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，连接BD，则BD的长为 　 　 ． 第10题 第11题 第12题 11．如图，等边三角形ABC中，放置等边三角形DEF，且点D，E分别落在AB，BC上，AD＝5，连结CF，若CF平分∠ACB，则BE的长度为 　 　 ． 12．如图， PA⊥AB，BQ⊥AB，其中AB＝42cm，AP，BQ足够长，点M从B出发向A运动，同时点N从B出发向Q运动，点M，N运动的速度之比为3：4，当两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线AP上取点C，使△ACM与△BMN全等，则线段AC的长为 　 　 cm． 【典型例题】 1．如图，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点．已知A、B、C都是格点． （1）小明发现∠ABC是直角，请补全他的思路； 小明的思路：先利用勾股定理求出△ABC的三条边长，可得AB2＝10，BC2＝　 　 ，AC2＝　 　 ．从而可得AB、BC、AC之间的数量关系是 　 　 ，根据 　 　 ，可得∠ABC是直角． （2）请用一种不同于小明的方法说明∠ABC是直角． 2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABD＝45°，BD＝13，CD＝5，求AD的长度． 3．如图，AB＝BC且AB⊥BC，点P为线段BC上一点，PA⊥PD且PA＝PD，若∠A＝26°，求∠D的度数． 4.如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝4，过点C作CD⊥AC，且AC＝CD，试求△BCD的面积 ... ...