21.3实际问题与二元一次方程（3） 教学目标 1.能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型． 2.能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理． 3.通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣． 教学重难点 重点： 列一元二次方程解有关特殊图形、销售问题的应用题 难点： 发现特殊图形问题中的等量关系 教学过程 一、情境导入（问题回顾） 1、上节课学习了哪几种类型的一元二次方程的实际应用？ 2、列方程解应用题的一般步骤？ 这节课我们学习一元二次方程中的另外两个模型：几何图形、销售利润问题模型。 二、合作探究 探究1、几何问题 如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（结果保留小数点后一位）？ 问题：（1）本题中有哪些数量关系？ （2）如何理解“正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形”？ （3）如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程？ （4）解方程并得出结论，对比几种方法各有什么特点？ 解：依据题意知：中央矩形的长宽之比等于封面的长宽之比＝9：7，由此可以判定：上下边衬宽与左右边衬宽之比为9：7，设上、下边衬的宽均为9xcm，则左、右边衬的宽均为7xcm，依题意，得：中央矩形的长为（27-18x）cm，宽为（21-14x）cm． 因为四周的彩色边衬所点面积是封面面积的， 则中央矩形的面积是封面面积的． 所以（27-18x）（21-14x）=×27×21 整理，得：16x2-48x+9=0 解方程，得：x= x1≈2.8cm，x2≈0.2 所以：9x1=25.2cm（舍去），9x2=1.8cm，7x2=1.4cm 因此，上下边衬的宽均为1.8cm，左、右边衬的宽均为1.4cm． 如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单地解决上面的问题 请你试一试. 解：设正中央的矩形两边分别为 9y cm，7y cm， 依题意得依题意得 整理,得： 解得： （不合题意，舍去） ∴上、下边衬的宽度为： 左、右边衬的宽度为： 注意关注学生： （1）对几何图形的分析能力； （2）在未知数的选择上，能否根据情况，灵活处理； （3）在讨论中能否互相合作； （4）解答一元二次方程的能力； （5）回答问题时的语言表达是否准确． 小结：几何图形主要集中在几何图形的面积问题, 这类问题的面积公式是等量关系. 如果图形不规则应割或补成规则图形,找出各部分面积之间的关系,再运用规则图形的面积公式列出方程; 三、应用新知 1、如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃。， 若要围成面积为 45m 的花圃，则AD 的长为多少米？ 解：设AD 的长为米， 依题意得： 整理得： – 8+ 15 = 0 解得： ， 当： 时， =15＞10（舍去）， 当 时 ， =9＜10 ， 答： AD的长为5 米； 2、如图所示的是一张月历表，在此月历表上用一个矩形任意圈出2×2 个数(如17，18，24，25)，如果圈出的四个数中最小数与最大数的积为153，那么这四个数的和为 . 解：设最小数为，则另外三个数为（＋1），（＋7）， （＋8），根据题意可得： （＋8）＝153 ， 解得， (不符合题意，舍去)， ∴当 ，＋1=10 ，＋7=16 ，＋8=17， ∴四个数分别为9，10，16，17， ∵ 9＋10 ＋ 16 ＋ 17＝52 ， 3、为了便于劳动课程的开展，学校打算建一个矩形生态园（如图），生态园一面靠墙（墙足够长），另外三面用的篱笆围成．生态园的面积能否为？如果能，请求出的长；如果不能，请说明理由 方法一 解：设米， 则米， 根据题意得， ， 解得：， 答：的长为米或米． 方法二 解：设米，则(18-2x)米， 根据题意得， ， 解得： 当 当 ... ...
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