4.2 正切课后培优提升训练（含答案）湘教版2025—2026学年九年级数学上册

中小学教育资源及组卷应用平台 4.2正切课后培优提升训练湘教版2025—2026学年九年级数学上册 一、选择题 1．在中，，，分别是边，上的中线，且，那么的值为（ ） A．3 B．2 C． D． 2．如图，在小正方形组成的网格中，点、、、、都在小正方形的顶点上，则的值为（ ） A． B． C． D． 3．如图，在正方形中，点分别在边上，且交于点，交于点．若F是的中点，则（ ） A．1 B． C．2 D．3 4．若，则锐角的度数是（ ） A． B． C． D． 5．若，则是（　　） A．直角三角形 B．等边三角形 C．含有的任意三角形 D．顶角为钝角的等腰三角形 6．如图，一身高（）为的学生，在水平地面的影子（）长为，则（ ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，点D为的中点，于点E，若，则的值为（　　） A． B． C． D． 8．如图，平面直角坐标系中，已知矩形，为原点，点、分别在轴、轴上，点的坐标为，连接，将沿直线翻折，点落在点的位置，则的值是（ ） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，在中，，若，则 ． 10．在中，，，则 ． 11．如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则 等于 ． 12．如图，在中，，易知，小明同学想求的值，他在上取点，使得，则 ． 三、解答题 13．计算下列各题： (1)； (2) ． 14．【基础巩固】 （1）如图1，等腰，垂足为点，点为上一点，，延长恰好过点，，求的值； 【尝试应用】 （2）如图2，等腰，垂足为点，点为上一点，，延长交于点，，求的值； 【拓展提高】 （3）如图3，四边形中，．点在上，，若，求的值（用含有的代数式表示）． 15．如图，矩形的对角线，相交于点O，，． (1)求矩形对角线的长． (2)过点O作于点E，连接．记，求的值． 16．如图，在四边形中，，，对角线相交于点，平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)过点作于点，交于点．若，，求的长． 17．追本溯源 题（1）来自课本中的习题，请你完成解答，并利用（1）中得到的结论完成题（2）． 如图1， 是的角平分线，过点分别作和的平行线交于点，交于点． （1）求证：四边形是菱形． 结论应用 （2）如图2，若是的中点，，求四边形的周长． 18．如图，在中，点为的中点，过点作，延长到点使，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求的长． 参考答案 一、选择题 1．A 2．B 3．D 4．D 5．D 6．B 7．A 8．B 二、填空题 9． 10． 11． 12． 三、解答题 13．【解】（1）解： ； （2）解： ． 14．【解】解：（1）， ， 又∵， ， 又∵， ， ． （2）如图，过点作，交于点， ∵， ∴， ∵， ∴，， ， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴． 根据（1）可得： ． （3）如图，延长交于点， ，， ， ， ， 设，则， ∵，， ∴， ∴，即， ， 由（2）可知． 15．【解】（1）解：∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴矩形对角线的长为4； （2）解：由勾股定理，得， ∵，于点E， ∴， ∴． 16．【解】（1）证明：∵， ， 平分， ， ， ， ， ， ∵， 四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形，， ，，， ， ， ， ，， ， ， 即， ， 即的长为． 17．【解】解：（1）∵， ∴四边形是平行四边形，， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形． （2）如图，连接交于点， ∵是的角平分线， ∴点D到和到的距离相等， 设点D到的距离为h，则， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）可知四边形是菱形， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴在中，由勾股定理得. ∴菱形的周长为． 18．【解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：由（）可知，，，， ∵， ... ...