2.3 一元二次方程根的判别式课后培优提升训练（含答案）湘教版2025—2026学年九年级数学上册

中小学教育资源及组卷应用平台 2.3一元二次方程根的判别式课后培优提升训练湘教版2025—2026学年九年级数学上册 一、选择题 1．方程根的情况是（ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 2．当时，方程实数根的个数（　　） A．1 B．2 C．1或2 D．无法确定 3．下列关于的方程中一定有实数解的是（ ） A． B． C． D． 4．已知a，b，c分别是三角形的三边长，则关于x的方程的根的情况是（ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．可能有且只有一个实数根 D．没有实数根 5．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（ ） A． B． C．且 D．或 6．已知方程有两个相等实根，则的值为（ ） A．0 B． C． D．2 7．方程没有实数根，则k的最小整数值是（　　） A． B．2 C．3 D．4 8．已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根且实数a，b，c互不相等，则下列结论一定成立的是（ ） A． B． C． D． 二、填空题 9．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则 ． 10．若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 11．已知分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且是关于的一元二次方程的两个根，则的值是 ． 12．对于一元二次方程，下列说法 ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则，其中正确的 三、解答题 13．已知关于x的方程，有两个不相等的实数根： (1)求k的取值范围； (2)若这个方程有一个根为2，求k的值． 14．已知方程的判别式的值为． (1)求的值并求出方程的根． (2)若等腰三角形底边长为，腰长是上述方程的根，求这个三角形的面积． 15．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若为正整数，求该方程的根． 16．定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的“友好点”．已知关于x的一元二次方程为． (1)求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根； (2)求“友好点”M的坐标（用含m的式子表示）； (3)若无论为何值，关于x的方程的“友好点”M始终在直线的图象上，求b，c满足的关系． 17．已知关于的方程． (1)求证：方程总有两个不等的实数根； (2)已知方程的一个根为，求代数式的值． 18．关于的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若等腰三角形两边的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为7，求的值． 参考答案 一、选择题 1．C 2．C 3．D 4．D 5．C 6．B 7．B 8．B 二、填空题 9． 10．且 11．1或2 12．①②④ 三、解答题 13．【解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：； （2）解：∵方程的一个根是2， ∴代入方程得： 即， 解得：或， ∵， ∴． 14．【解】（1）解：方程的判别式的值为， ， 解得：， 当时，方程的解为，， 当时，方程的解为，； （2）解：等腰三角形底边长为，腰长是上述方程的根， 当时，方程的解为，，不符合题意， 等腰三角形的腰长是方程的解为，， 当腰为时，，不能构成三角形， 等腰三角形的腰长是， 设底边上的高为，由勾股定理得： ， 等腰三角形的面积为． 15．【解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， ∴的取值范围为； （2）∵为正整数，， ∴， 此时方程为， ∴， ∴或， 解得：，． 16．【解】（1）证明：， ， 不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）解：， ， 解得：，， 方程的“友好点”为； （3）解：由题意，直线， 过定点， 两个根为，， ，， ， ，即． 17．【解】（1）解：∵关于x的一元二 ... ...