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课件网) 普通高中教科书数学选择性必修第一册 第二章直线和圆的方程 2.3.2 两点间的距离公式 开拓·奉献 团结·进取·勤奋·求实 探究新知 问题1 如图，已知平面内两点 如何求P1P2间的距离 探究新知 追问1 答案: 我们学过什么知识可以刻画平面直角坐标系内两点间线段的长度？ 在学习向量及其运算的坐标表示时，我们定义有向线段 利用向量的模求 的长度（模）. 探究新知 追问2 答案: 如何用坐标表示向量 ？ 向量的坐标表示等于此有向线段的终点坐标减去起点坐标， 即 探究新知 追问3 答案: 如何求向量 的模？ 由平面向量数量积运算的坐标表示得： 因此， 两点间的距离为 特别的，原点O（0，0）与任一点P（x，y）间的距离： 探究新知 追问4 答案: 学习平面几何时，我们往往通过构造直角三角形，利用勾股定理求线段的 长度.基于点坐标的意义，你能构造出适当的直角三角形吗？ 因为点的横纵坐标表示的是点“水平方向”和 “竖直方向”的相对位置.所以，我们选择与坐 标轴平行（或垂直）的直线构造直角三角形. 如图添加辅助线，这样，这些线段长度很容易用坐标表示. 探究新知 追问5 答案: 如何求|P1P2| 点A的坐标为（x2，y1）， 如果两点所在直线平行或垂直于x轴，则 知识应用 例1 解： 方法1：因为P在x轴上，设所求点P（x，0） 利用两点间距离公式得 已知点 在x轴上求一点P，使|PA|=|PB|，并求出|PA|的值. ) ，B(2,2)， 解得：x=1 由已知|PA|=|PB|得 所以所求点为P（1，0），且 知识应用 例1 解： 方法2： 已知点 在x轴上求一点P，使|PA|=|PB|，并求出|PA|的值. ) ，B(2,2)， 由|PA|=|PB|知点P在线段AB的垂直平分线上. 由 知，线段AB的中点 ) ，B(2,2) 直线AB的斜率 ，其垂直平分线的斜率为 知识应用 例1 解： 方法2： 已知点 在x轴上求一点P，使|PA|=|PB|，并求出|PA|的值. ) ，B(2,2)， 则垂直平分线方程为 由点P在x轴上，令y=0，解得x=1 则P（1，0）， 知识应用 例1 总结： 第一种方法通过设点P的坐标，借助两点距离公式建立关于P点横坐标的 方程，通过解方程，问题得到解决. 第二种方法虽然计算较复杂，但也体现了解析几何的基本研究方法， 即：先把已知条件中数量关系转化为图形几何性质，再用代数的方 法求解，体现了形与数、数与形之间的相互转化. 已知点 在x轴上求一点P，使|PA|=|PB|，并求出|PA|的值. ) ，B(2,2)， 知识应用 例2 用坐标法证明：平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍. 追问1 答案: 知识应用 什么是坐标法？ 坐标法就是把图形放入适当的平面直角坐标系中，用坐标表示有关的量， 再代数运算，并将代数结果“翻译”成几何结论. 追问2 答案: 知识应用 如何建立平面直角坐标系呢？用坐标表示有关的量？ 我们需要表示出两条对角线和邻边的长度.所以要知道A，B，C，D 四点的坐标. 因此，我们要建立的坐标系应该能使这四点的坐标尽 可能简洁的表达出来. 所以，我们可以把某个顶点为坐标原点，并 让某条边在轴上. 追问2 答案: 知识应用 如何建立平面直角坐标系呢？用坐标表示有关的量？ 以平行四边形ABCD的顶点A为坐标原点，边AB所在直线为x轴， 建立如图所示平面直角坐标系，此时A（0，0） 追问3 答案: 知识应用 结合平行四边形的性质，说说需要设出哪些点的坐标？ 因为因为B点在x轴上，所以可以设点B（a,0）. 因为OB与CD平行且相等， 所以C，D的纵坐标相等，横坐标差a. 也就是说，需要从C，D中任选一个点 设出坐标，就能把另一点坐标表示出来. 这里，我们不妨设D点坐标（b，c）. 则C（a+b，c） 追问4 答案: 知识应用 如何用顶点坐标表示对角线的长度及边长？ . 所以 追问5 答案: 知识应用 ， . 你是否还有其他建立坐标系的方法？ ... ...
