2025-2026学年人教版数学九年级上册22.3.2 二次函数与最大利润问题 教学设计

22.3.2二次函数与最大利润问题教学设计2025-2026学年人教版数学九年级上册 一、教材地位与内容分析 “二次函数与最大利润问题”位于人教版九年级上册第二十二章第三节第二课时，是“二次函数应用”板块的核心课例。学生已学完二次函数概念、图象、性质、求顶点坐标、对称轴、开口方向等知识，并具备一次函数与方程、不等式综合解决“最优”问题的初步经验。本课通过“利润”这一真实情境，让学生经历“抽象数量关系—建立二次函数模型—利用顶点求最值—回归实际意义”的完整过程，体验数学建模、数学运算与逻辑推理的融合，为后续“二次函数与最大面积”“二次函数与运动轨迹”等专题奠定思维范式，同时渗透经济学中“边际”思想，体现数学跨学科价值。 二、学情分析 1.知识储备：学生已能熟练用配方法、公式法求二次函数顶点，能借助图象判断最值，但对“自变量取值范围受实际约束”体会不深，易忽视定义域限制。 2.思维特点：九年级学生处于由“具体运算”向“形式运算”过渡期，对“利润=收入—成本”有生活经验，却缺少“单价、销量、利润”联动变化的系统思考，常把“单价越高利润越高”当成直觉。 3.学习障碍：①变量多，理不清“单价—销量—利润”链条；②顶点横坐标为非整数时，不知如何处理；③忽视“x≥0且销量≥0”等隐含条件，导致“数学解”与“实际解”脱节。 4.差异资源：班级已进行两年“问题提出”训练，部分学生能主动追问“如果成本变化”“如果市场容量变化”会怎样，可分层利用这些生成性资源，带动全班深入思考。 三、核心素养目标 1.数学建模素养：能从实际情境中识别关键变量，用代数符号抽象出“利润关于单价的二次函数”，并给出合理的定义域。 2.数学运算素养：能灵活运用配方法或顶点公式求二次函数最值，能对非整数解进行取整检验，体会“连续模型”与“离散现实”的差异。 3.逻辑推理素养：能论证“顶点即为最大利润点”的充分性，能举反例说明“顶点不在定义域内”时最值在端点取得，形成分类讨论意识。 4.数学交流素养：能用生活化语言解释“为什么单价不是越高越好”，能用符号语言、图象语言、文字语言三种方式表达建模过程，提升跨学科表达能力。 5.理性精神与价值观：在“追求利润”与“让利顾客”之间进行价值辨析，体会“最优”并非“极端”，培养理性决策与社会责任意识。 四、教学重难点 重点：建立“利润—单价”二次函数模型，利用顶点坐标求最大利润。 难点：①厘清“单价↑销量↓”的线性假设；②正确处理“顶点横坐标为非整数”时的取整策略；③解释“数学最优”与“商业可行”之间的差异。 五、教学方法与策略 情境启发—问题驱动—模型建构—合作探究—错例剖析—变式拓展—反思提升。 整节课以“同一情境、层层递进”的“一境到底”方式展开，避免碎片化；以“学生错例”为资源，进行“对�———辩论—再建模”的深度学习；以“追问式”对话撬动高阶思维，实现“双减”背景下课堂提质增效。 六、教学过程 （一）情境引入（约8分钟） 教师呈现生活化场景：学校劳动教育实践基地收获一批草莓，总量600斤，平均成本每斤6元。学生会调研发现： ①若售价10元/斤，可售出400斤； ②若售价12元/斤，可售出300斤； ③若售价14元/斤，可售出200斤。 教师提问：你看到哪些量在变化？它们是怎样联动的？ 学生脱口而出“单价提高，销量减少”。教师追问：这种联动是偶然还是规律？能否用数学语言刻画？ 学生通过描点（10，400）、（12，300）、（14，200）发现三点大致在一条直线上，于是假设“销量q是单价p的一次函数”，用待定系数法求得q=－50p+900。教师强调：经济学中称为“线性需求函数”，是一种简化模型，真实世界可能更复杂，但数学建模往往从简单开始。 教师再追问：利润y与单 ... ...