1.6 线段垂直平分线的性质 第1章 三角形的初步知识 1.能描述垂直平分线的定义，掌握“垂直平分线上的任意一点到线段两端距离相等”这一性质，并能用几何语言表达. 2.能运用垂直平分线的性质解决简单的几何问题（如证明三角形全等、求线段长度或角度），并能结合尺规作图完成给定线段的垂直平分线操作. 3.通过例题，能理解性质与逆定理的关系. 学习目标 情境引入 情境1.村庄A和B在一条河流两侧，为了方便居民的生活，需要在两个村庄之间建立一个消防站，如图所示. 村庄A 村庄B 消防站 同桌讨论一下：应该把消防站建立在何处，才能使得它到两个村庄之间的距离相等呢？ 河 情境引入 情境2.观察箭发射的过程中，两段弓弦AB，AC有什么关系？若箭所在的直线为AD，则AD与BC有什么关系？ 归纳：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线，简称中垂线. AB=AC . AD⊥BC，BD=DC. 探究.如图所示：直线l⊥AB于点O，且OA=OB.C是直线l上的任意一点. 求证：CA=CB 证明：∵l⊥AB， ∴∠COA=∠CBO. ∵在△CAO和△CBO中， OA=OB(已知)， ∠COA=∠COB(已证)， OC=OC (公共边)， ∴△CAO≌△CBO(SAS). ∴CA=CB (全等三角形的对应边相等). 垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 探究新知 例1.要作线段AB的垂直平分线，只需找出线段AB的垂直平分线上的两个点，这两个点到点A，B的距离分别相等. 作法： 1.分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径作弧，两段弧相交于点C，D. 2.作直线CD，直线CD就是线段AB的垂直平分线. 例题精讲 1.如图，某村计划在河边上挖一个小水塘储水，方便灌溉农田，为了使其到A、B两块田地的距离相等.请你用尺规作图，确定小水塘的位置，不写作法，保留作图痕迹. 作法：先分别以A，B为圆心，以大于12AB的半径画圆，然后连接两交点的直线交河面的点即为小水塘的位置. ? 变式训练 解：∵DE垂直平分AC， ∴AD=DC， ∴△BCD的周长为BC+BD+DC=BC+BD+AD=BC+AB=22cm. ∵AB=AC=12cm. ∴BC+12=22，解得BC=10cm. ∴底边BC的长为10cm. 例2.如图，在△ABC中，AB=AC=12cm，AC的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，且△BCD的周长为22cm，求底边BC的长. 分析：由DE垂直平分AC，可得AD=DC，则可求出△BDC的周长为BC+AB，把AB的值代入即可求出BC. 例题精讲 证明：∵DE⊥AB，AC⊥BC，∴∠AED=∠ACB=90° 又∵AD是CE的垂直平分线，∴AE=AC、ED=DC， ∴在△AED和△ACD中，AE=AC，∠AEC=∠ACD，ED=DC. ∴△AED≌△ACD(SAS). ∴∠DAE=∠DAC， ∴AD平分∠BAC. 2.如图，在△ABC中，AC⊥BC，DE⊥AB于点E、AD是CE的垂直平分线， 求证：AD平分∠BAC. 分析：此题考查了全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，先证明△AED≌△ACD(SAS)，得到∠DAE=∠DAC，即可得到结论. 变式训练 例3.如图，在△ABC中，分别以点A、C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相 交于点M、N，作直线MN分别交BC、AC于点D、E.若AE=4cm，△ABD的周长 为14cm，则△ABC的周长为_____cm. 例题精讲 解：由题意得到MN垂直平分AC， ∴CE=AE=4cm，DA=DC. ∵△ABD的周长为14cm， ∴AB+BD+AD=14cm，∴AB+BD+DC=14cm， 即AB+BC=14cm. △ABC的周长=AB+BC+AC=14+4+4=22cm. 22 分析：主要考查作图和垂直平分线的性质，根据题意得到MN的垂直平分线AC， 利用等量代换即可得到答案. 3.如图，已知线段AB，分别以点A、B为圆心，5为半径作弧相较于C、D，连接 CD，点E在CD上，连CA、CB、EA、EB，若△ABC与△ABE的周长之差为4， 则AE的长为 _____. 解：根据作图的意义，可得CD是线段AB的垂直平分线，∴AC=BC，AE=BE. ∴△ABC与△ABE的周长之差为4，即2AC-2AE=4. ∵AC=5，∴10-2AE=4. 解得AE=3. 3 变式训练 分析：根据作图的意义，可得CD是线段AB的 ... ...
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
