8.2.3 倍角公式 导学案（含答案）

8．2.3　倍角公式 【课程标准】　1.会用两角和(差)的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的三角恒等变换并能灵活地将公式变形运用． 教 材 要 点 知识点一　倍角公式 S2α：sin 2α＝_____． C2α：cos 2α＝_____＝_____＝_____. T2α：tan 2α＝_____． 【倍角公式注意点】由三角函数的定义知，S2α，C2α中的角α是任意的，但要使T2α有意义，需要α≠＋ (k∈Z)． 【学霸笔记】　你是怎样理解倍角公式中的“倍角”二字的？ [提示]　倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如2α是α的倍角，8α是4α的倍角，是的倍角等等． 知识点二　倍角公式的变换 1．因式分解变换 cos 2α＝cos2α－sin2α＝(cosα＋sin α)(cos α－sin α)． 2．配方变换 1±sin 2α＝sin2α＋cos2α±2sinαcos α＝(sin α±cos α)2. 3．升幂缩角变换 1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α. 4．降幂扩角变换 cos2α＝(1＋cos2α)，sin2α＝(1－cos2α)，sin αcos α＝sin 2α. 基 础 自 测 1.sin 15°sin 75°＝(　　) A． B． C． D． 2．设sin θ－cos θ＝2,3，则sin 2θ＝(　　) A． B． C．－ D．－ 3．(cos－sin )(cos＋sin )＝(　　) A．－ B．－ C． D． 4．－2cos 10°＝(　　) A． B． C． D．2 5．若cos (－α)＝10,5，则cos (＋2α)＝_____． 题型1利用倍角公式化简求值 例1化简求值． 灵活运用倍角公式转化为特殊角或产生相消项，然后求得． (1)cos4－sin4； (2)sin ·cos ·cos ； (3)1－2sin2750°； (4) ． 总结 倍角公式的灵活运用 1．公式的逆用：逆用公式，这种在原有基础上的变通是创新意识的体现．主要形式有： 2sinαcos α＝sin 2α，sin αcos α＝sin 2α， cos α＝，cos2α－sin2α＝cos 2α，＝tan 2α. 2．公式的变形：公式间有着密切的联系，这就要求思考时要融会贯通，有目的地活用公式．主要形式有： 1±sin 2α＝sin2α＋cos2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2，1＋cos 2α＝2cos2α，cos2α＝，sin2α＝． 跟踪训练1　求下列各式的值： (1)sin cos ； (2)2sin2＋1； (3)cos20°cos 40°cos 80°； (4). 题型2利用倍角公式解决条件求值问题 例2(1)已知sin α＝3cos α，那么tan 2α＝(　　) A．2 B．－2 C．3,4 D．－3,4 (2)已知sin (＋α)＝，则cos (－2α)＝(　　) A． B． C．－ D．－ (3)已知cos α＝－，sin β＝，α是第三象限角，β∈(，π). ①求sin 2α的值；②求cos (2α＋β)的值． 总结　(1)可先求tan α，再求tan 2α； (2)可利用π－2α＝2(－α)求值； (3)可先求sin 2α，cos 2α，cos β，再利用两角和的余弦公式求cos (2α＋β)． 总结 直接应用倍角公式求值的三种类型 1． 2． 3． 跟踪训练2　(1)计算：2·sin 40°·sin 80°,cos 40°＋cos 60°＝(　　) A．－ B．－ C． D． (2)已知α，β∈(0，π)，且cos α＝5,5，sin (α＋β)＝－2,10，则cos (3α＋β)＝(　　) A．－ B．－ C． D． 题型3利用倍角公式证明 例3求证：＝sin 2α. 总结　可先化简左边，切化弦，再利用倍角公式化简出右边． 总结 证明问题的原则及一般步骤 1．观察式子两端的结构形式，一般是从复杂到简单，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想． 2．证明的一般步骤是：先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异，然后本着“复角化单角”“异名化同名”“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的． 跟踪训练3　已知sin θ＋cos θ＝2sin α，sin θcos θ＝sin2β，求证：4cos22α＝cos22β. 题型4倍角公式的灵活运用 【思考探究】　(1)在化简 ＋时，如何灵活使用倍角公式？ [提示]　 ... ...