3.2 等比数列的前n项和 第1课时 等比数列的前n项和(一) 最新课程标准 1.探索并掌握等比数列的前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系． 2．能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能解决相应的问题． 3．体会等比数列与指数的函数关系． 学科核心素养 1.了解等比数列前n项和公式的推导过程．(逻辑推理、数学运算) 2．掌握与前n项和公式有关的计算．(数学运算) 3．能利用等比数列的通项公式及前n项和公式解决生活中的实际问题．(数学建模、数学运算) 导学 [教材要点] 要点一 等比数列的前n项和公式 总结 (1)等比数列前n项和公式分q ＝1与q≠1两种情况，因此当公比未知时，要对公比进行分类讨论． (2)q≠1时，公式Sn ＝与Sn ＝是等价的，利用an ＝a1qn -1可以实现它们之间的相互转化． 当已知a1，q与n时，用Sn ＝较方便； 当已知a1，q与an时，用Sn ＝较方便． 要点二 等比数列的前n项和的性质 1．数列{an}为公比不为－1的等比数列，Sn为其前n项和，则_____，_____，_____仍为等比数列． 2．已知{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项的和与奇数项的和，若项数为2n，则＝_____． 总结 (1)当q ＝ －1且k为偶数时，…不是等比数列； (2)当q≠ －1时，或q ＝ －1且k为奇数时，…是等比数列． (3)若{an}是公比为q的等比数列，则：①前n项积Tn ＝；②连续m项的积仍为等比数列，即Tm，，…是等比数列，公比为. [练习] 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)求等比数列{an}的前n项和时可直接套用公式Sn＝来求．( ) (2)若首项为a的数列既是等差数列又是等比数列，则其前n项和为Sn＝na.( ) (3)若某数列的前n项和公式为Sn＝－aqn＋a(a≠0，q≠0且q≠1，n∈N*)，则此数列一定是等比数列．( ) (4)若Sn为等比数列的前n项和，则S3，S6，S9成等比数列．( ) 2．已知等比数列{an}的首项a1＝3，公比q＝2，则S5等于( ) A．93 B．－93 C．45 D．－45 3．在等比数列{an}中，S2＝7，S6＝91，则S4等于( ) A．28 B．32 C．35 D．49 4．一座七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点了381盏灯，则底层所点灯的盏数是_____． 导思 题型一 等比数列前n项和的基本运算 例1 在等比数列{an}中， (1)S2＝30，S3＝155，求Sn； (2)a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求S5； (3)a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求q. 总结 (1)在等比数列{an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，已知其中的三个量，通过列方程组，就能求出另外两个量，这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用． (2)在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论． 跟踪训练1 在等比数列{an}中， (1)若a1＝，求n和q； (2)已知S4＝1，S8＝17，求an. 题型二 等比数列前n项和的性质的应用 例2 (1)各项都是正实数的等比数列{an}，前n项的和记为Sn，若S10＝10，S30＝70，则S40＝( ) A．150 B．－200 C．150或－200 D．400或－50 (2)等比数列{an}中，公比q＝3，S80＝32，则a2＋a4＋a6＋…＋a80＝_____． 总结 运用等比数列前n项和的性质解题大大减少了运算量． 跟踪训练2 (1)在等比数列{an}中，已知Sn＝48，S2n＝60，则S3n＝_____． (2)一个等比数列的首项为1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，则此数列的公比和项数分别为_____，_____． 题型三 等比数列前n项和公式的实际应用 例3 水土流失是我国西部大开发中最突出的生态问题．已知西部某地区有耕地3 000万亩需要退耕还林，国家确定2000年在该地区退耕还林的土地面积为300万亩，以后每年退耕还林的土地面积比上一年递增20%，那么从2000年起，到哪一年该地区基本解决退耕还林问题？(log1.23 ... ...
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