2.6.3 函数的最值 导学案（含答案）

6．3　函数的最值 导学 [教材要点] 要点　函数的最值与导数 1．最大值点与最小值点 函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值点x0指的是：函数f(x)在这个区间上所有点处的函数值都_____f(x0)． 函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最小值点x0指的是：函数f(x)在这个区间上所有点处的函数值都_____f(x0)． 2．最大值与最小值 最大(小)值或者在_____取得，或者在_____取得．因此，要想求函数的最大(小)值，应首先求出函数的极大(小)值点，然后将所有极大(小)值点与区间端点的_____进行比较，其中_____即为函数的最大(小)值． 函数的最大值和最小值统称为_____． 总结　(1)函数的最值是一个整体性的概念．函数极值是在局部区间上对函数值的比较，具有相对性；而函数的最值则是表示函数在整个定义域上的情况，是对整个区间上的函数值的比较． (2)函数在一个闭区间上若存在最大值或最小值，则最大值或最小值只能各有一个，具有唯一性，而极大值和极小值可能多于一个，也可能没有，例如：常数函数就既没有极大值也没有极小值． (3)极值只能在区间上取得，最值则可以在端点处取得；有极值的不一定有最值，有最值的也未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处取必定是极值． [练习] 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)函数f(x)在区间[a，b]上的最大值和最小值，一定在区间端点处取得．(　　) (2)开区间上的单调连续函数无最值．(　　) (3)在定义域上，若函数有最值与极值，则极大(小)值就是最大(小)值．(　　) (4)若函数在给定区间上有最值，则最大(小)值最多有一个；若有极值，则可有多个．(　　) 2．函数f(x)＝4x－x4在x∈[－1，2]上的最大值、最小值分别是(　　) A．f(1)与f(－1) B．f(1)与f(2) C．f(－1)与f(2) D．f(2)与f(－1) 3．函数f(x)＝2x－cos x在(－∞，＋∞)上(　　) A．无最值 B．有极值 C．有最大值 D．有最小值 4．已知函数f(x)＝sin x－2x－a，若f(x)在[0，π]上的最大值为－1，则实数a的值是_____． 导思 题型一　求函数的最值 例1　求下列函数的最值． (1)f(x)＝2x3－12x，x∈[－1，3]； (2)f(x)＝x＋sin x，x∈[0，2π]. 总结 导数法求函数最值 (1)求f′(x)，令f′(x)＝0，求出在(a，b)上使导数为0的点，同时还要找出导数不存在的点． (2)比较三类点处的函数值：导数不存在的点，导数为0的点及区间端点的函数值，其中最大者便是f(x)在[a，b]上的最大值，最小者便是f(x)在[a，b]上的最小值． 跟踪训练1　(1)函数f(x)＝x3－3x2－9x＋6在区间[－4，4]上的最大值为(　　) A．11 B．－70 C．－14 D．－21 (2)函数y＝x ln x的最小值为(　　) A．－e-1 B．－e C．e2 D．－ 题型二　含参数的最值问题 例2　已知函数f(x)＝x3－ax2－a2x.求函数f(x)在[0，＋∞)上的最小值． 变式探究1　本例中再加“a>0”这一条件，求函数f(x)在[－a，2a]上的最值． 总结 (1)含参数的函数最值问题的两类情况 ①能根据条件确定出参数，从而化为不含参数函数的最值问题． ②对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0，等于0，小于0三种情况．若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值． (2)已知函数最值求参数值(范围)的思路 已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，用参数表示出最值后求参数的值或范围． 跟踪训练2　已知函数f(x)＝ex－ax2－bx－1，其中a，b∈R，e＝2.718 28…为自然对数的底数．设g(x)是函数f(x)的导函数． (1)求函数g(x)在区间[0，1]上的最小值． (2)当b＝0时，若函数g(x)在区间[0，1]上的最小值为0 ... ...