(课件网) 高 速 公 路 A B 在某高速公路 l 的同侧，有两个工厂 A、B，为了便于两厂的工人看病，市政府计划在公路边上修建一所医院，使得两个工厂的工人都没意见，问医院的院址应选在何处？你的方案是什么 生活中的数学 l 12.4.2 线段垂直平分线 1. 理解线段垂直平分线的定理及其逆定理，并能利用它们来进行证明或计算. 如图，直线 MN 是线段 AB 的垂直平分线，P 是 MN 上任一点，连结 PA、PB. 将线段 AB 沿 直线 MN 对折，你发现了什么？ 对折后 PA、PB 能够完全重合，PA = PB. M A B N C P 证明： ∵MN ⊥AB（已知）， ∴∠ACP =∠BCP = 90° (垂直的定义). 在△ACP 和△BCP 中， ∵ AC = BC，∠ACP =∠BCP，PC = PC， ∴ △ACP≌△BCP (SAS). ∴PA = PB (全等三角形的对应边相等). 你能用一句话来描述刚得到的结论吗？ M N P A C B 证明过程 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 线段垂直平分线的性质定理： 几何语言叙述： ∵ 点 P 在线段 AB 的垂直平分线上 （或 PC⊥AB，AC = BC）， ∴ PA = PB. M N P A C B 1. 如图，AB = AC，∠A = 50°，DE垂直平分AB. 求∠DBC的大小. 解：由题意，得∠ABC= (180°－∠A)÷2=65°， ∠EBD=∠A=50°， 所以∠DBC=∠ABC－∠EBD=15°. 活学活用 探索 线段垂直平分线的性质反过来会有何结果？ 写出性质定理及其逆命题的条件和结论，你有什么发现？ 条 件 结 论 性质定理 逆命题 一个点在线段的垂直平分线上 这个点到线段两端的距离相等 一个点到线段两端的距离相等 这个点在线段的垂直平分线上 这个逆命题是不是一个真命题？你能证明吗？ 逆命题：如果一个点到线段两端的距离相等， 那么这个点在线段的垂直平分线上. 已知： 如图，QA＝QB. 求证： 点 Q 在线段 AB 的垂直平分线上． 分析：为了证明点 Q 在线段 AB 的垂直平分线上，可以先经过点 Q 作线段 AB 的垂线，然后证明该垂线平分线段 AB； 也可以先平分线段 AB，设线段 AB 的中点为点 C，然后证明 QC 垂直于线段 AB． 证明：过点 Q 作 MN⊥AB，垂足为点 C， ∵ QA = QB，QC⊥AB， ∴ AC = BC (等腰三角形的三线合一). ∴ 点 Q 在线段 AB 的垂直平分线上. 线段垂直平分线的判定定理 应用格式： ∵ PA = PB， ∴ 点 P 在 AB 的垂直平分线上． P A B 作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上. 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 线段垂直平分线的判定定理与性质定理互为逆定理. 2.如图，在△ABC中，已知点D在BC上，且 BD+AD=BC. 求证：点D在AC的垂直平分线上 . A B C D 证明：∵BD＋DC＝BC 而 BD＋AD＝BC， ∴ AD＝DC， ∴ 点D在AC的垂直平分线上. 活学活用 利用尺规作三角形三条边的垂直平分线，做完之后，你发现了什么？ 发现：三角形三边的垂直平分线交于一点．这一点到三角形三个顶点的距离相等． 怎样证明这个结论呢 试一试 点拨：要证明三角形三条边的垂直平分线相交于一点，只需证明其中两条边的垂直平分线的交点一定在第三条边的垂直平分线上就可以了.其思路可表示如下： B C A O l n m l 是 AB 的垂直平分线 m 是 BC 的垂直平分线 OA = OB OB = OC OA = OC 点 O 在 AC的垂直平分线 n 上 证明：连接 PA，PB，PC. ∵ 点 P 在 AB，AC 的垂直平分线上， ∴ PA = PB，PA = PC (线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等). ∴ PB = PC. ∴ 点 P 在 BC 的垂直平分线上 (到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上). B C A P l n m 线段垂直平分线 性质 到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上 内容 判定 内容 作用 线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等 作用 见垂直平分线，得线段相等 判断一个点是否在线段的垂直平分线上 1.如图 ... ...
