2.4.2 简单幂函数的图象和性质 课件（15页） 2025-2026学年北师大版（2019）高中数学必修第一册

(课件网) 第二章 函数 2.4.2 简单幂函数的图象和性质 1.了解幂函数的定义. 2.通过作出一些简单幂函数的图象，能根据图象描述出这些简单幂函数的一些基本性质. 情境：“幂”原意是遮盖东西用的布，后来引申为面积.《九章算术》刘徽注：“凡广纵相乘谓之幂.”后来又推广引申为多次乘方的结果；到了清明时代，既称面积为幂，也称平方或立方为幂；清末之后，幂逐渐开始专指乘方概念. “幂” 问题1：写出下列 y 关于 x 的函数关系式，并观察有什么共同特征？ （1）购买每千克1元的蔬菜 x 千克，需要支付的钱数 y； （2）正方形的边长为 x，正方形的面积 y； （3）正方体的棱长为 x，正方体的体积 y； （4）正方形的面积为 x，正方形的边长 y； （5）某人 x 秒内骑车行进了1 km，她骑车的平均速度 y. 共同特征：1. 幂的形式；2. 幂的底数是自变量；3.幂的指数是常数. 幂函数：一般地，形如 y = xα (α为常数) 的函数，即底数是自变量、指数是常数的函数称为幂函数； （1）自变量的系数为1；（2）幂的系数为1；（3）函数的定义域与α有关. 分析：由幂函数定义知 y = 2x与 y = 2x 不是幂函数，故选 BC. B C （2）已知 y = (2a + b)xa＋b + (a - 2b) 是幂函数，求：a、b 的值. 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为 y = xα (α为常数)的形式，需满足①指数为常数，②底数为自变量，③xα的系数为1； 形如y = (3x)α，y = 2xα，y = xα＋5，…形式的函数都不是幂函数；反过来，若一个函数为幂函数，则该函数也必具有这一形式. 归纳总结 练一练1：若 f (x) = (m2 - 4m - 4)xm 是幂函数，则 m = _____. 5 或 -1 解：因为f (x)是幂函数，所以m2 - 4m - 4 = 1，即m2 - 4m - 5 = 0， 解得m = 5或m = -1. 问题2：观察下列五个幂函数的图象，说说有什么发现？ 1. 在第一象限内，函数 y = x-1 的图象向上与 y 轴无限接近，向右与 x 轴无限接近. 2. 在第一象限内，在 x = 1 右侧，指数越大，幂函数的图象越远离 x 轴. B 归纳总结 问题3：结合幂函数的性质，填写下表： R R R [0，+∞) (-∞，0)∪(0，+∞) 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 增 (-∞，0]，减； [0，+∞)，增 增 增 (1，1) (-∞，0)，减； (0，+∞)，减 注意：对于y = xα，当 α > 0 时，在第一象限为增函数且过点 (0，0) 和 (1，1) ； 当 α < 0 时，在第一象限为减函数，且过点 (1，1). 例3：（2）利用幂函数的性质，比较 (–1.2)3 与 (–1.1)3 的大小. 方法小结：（1）α 相同时，先判断函数的单调性； （2）然后根据自变量的大小，直接比较函数值的大小. （2）由 y = x3 的定义域为 R，且在 R 上单调递增， 因为 –1.2 < – 1.1，所以 (– 1.2)3 < (– 1.1)3 . 根据今天所学，回答下列问题： 1. 回顾幂函数的概念，说说什么是幂函数； 2. 结合图象说说幂函数有哪些基本性质. ... ...