高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册 第一章 空间向量与立体几何检测试卷 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一项符合题目要求） 1.给出下列说法： ①若空间向量满足，则与的夹角为钝角； ②对于空间任意一点与不共线的三点，若（其中），则四点共面； ③对于非零向量，若，则； ④若为空间的一个基底，则可以作为空间的另一个基底。 其中正确说法的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2.某公司利用无人机进行点餐即时配送，利用空间坐标表示无人机的位置，开始时无人机在点处起飞，6秒后到达点处，15秒后到达点处，若，则（ ） A. B. 120 C. 150 D. 210 3.已知，向量，，，且，，则（ ） A. -1 B. 1 C. 2 D. 3 4.如图，在四棱锥中，平面底面，平面底面，四边形为正方形，且，为的重心，则与底面所成的角满足（ ） B. C. D. 5.在平行六面体中，，，，，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 6.在三棱柱中，平面，为的中点，，，则下列结论中正确的是（ ） A. 平面平面 B. 平面平面 C. 平面 D. 7.如图1，“瓮城”是古代城池中依附于城门，与城墙连为一体的附属建筑，当敌人攻入瓮城时，如将主城门和瓮城门关闭，守军即可对敌形成“瓮中捉鳖”之势，“瓮城”可看作是上、下底面均为半环形的柱体，垂直于下底面，，，，为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 8.在长方体中，，，在线段上取点，在线段上取点，使得直线平面，则线段长度的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，每小题有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9.在棱长为1的正四面体内有一点，满足，则（ ） A. B. C. D. 10.关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 已知，，则在上的投影向量的坐标为 B. 若向量，且与夹角的余弦值为，则或 C. 已知三棱锥，点为平面内的一点，且（），则 D. 已知向量不共线，若，，，则可以构成空间的一个基底 11.四面体中，，，，，为的中点，点是棱上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当是靠近点的三等分点时，共面 C. 当时， D. 的最小值为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.已知，，其中，则_____. 13.如图，在棱长为3的正方体中，点在上，且，点在上，且。若平面内存在一点，使得平面，则点的坐标为_____. 14如图，等边三角形与正方形有一公共边，且，二面角的余弦值为，分别是的中点，则 ，与所成角的余弦值为 . 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（13分）如图，在三棱锥中，平面，。 （1）求证：平面平面； （2）若，，三棱锥的体积为100，求二面角的余弦值。 16.（15分）如图，在正方体中，分别为棱的中点，点是正方形的中心。 （1）证明：四点不共面； （2）证明：平面平面。 17.（15分）如图，在直三棱柱中，，，点分别为棱的中点。 （1）求证：平面； （2）求直线与直线所成角的余弦值； （3）求点到平面的距离。 18.（17分）如图，四棱锥中，底面，，，。 （1）若，证明：平面； （2）若，且二面角的正弦值为，求。 19.（17分）某商品的包装纸如图1所示，四边形是边长为3的菱形，且，，。将包装纸各三角形沿菱形的边进行翻折后，点重合，记为点，恰好形成如图2所示的四棱锥形的包装盒。 （1）证明：平面； （2）设为边上的一点，且二面角的正弦值为，求与平面所成角的正弦值。 一、单项选择题 1.答案：B 解析：①若，与的夹角可能为平角（如与反向），错误；②当时，四点共面，否则不共面，错误；③向量运算无“消去律”，由仅得或，错误；④假设，无解，故可作基底，正确。仅1个正确，选B。 2.答案：C 解析：由，，得 ... ...
