上海市七宝中学2026届高三上学期开学练习数学试卷（PDF版，含答案）

上海市七宝中学 2026 届高三上学期开学练习数学试卷 一、单选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知 、 是非零实数，若 < ，则下列不等式成立的是( ) A. 2 < 2 B. 2 < 2 C. 1 < 1 2 2 D. < 2.已知 , ∈ ，且 2 + , + ( 是虚数单位)是实系数一元二次方程 2 + + = 0 的两个根，那么 , 的 值分别是 A. = 4, = 5 B. = 4, = 3 C. = 4, = 5 D. = 4, = 3 3.已知函数 ( ) = 12| 2| , ( )是定义在 R 上的奇函数，且满足 (2 + ) = (2 )，当 ∈ [0,2]时， ( ) = log2( + 1).则当 ∈ [0,2025]时，方程 ( ) = ( )实根的个数为( ) A. 508 B. 507 C. 506 D. 505 4.对于函数 = ( )，设 1：对任意的 ∈ ，均有 ( ) = ( ) ， 2：对任意的 ∈ ，均有 ( ) = | | ， ：函数 = ( )为偶函数，则( )． A. 1、 2中仅 1是 的充分条件 B. 1、 2中仅 2是 的充分条件 C. 1、 2均是 的充分条件 D. 1、 2均不是 的充分条件 二、填空题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。 5.若全集 = R，集合 = ∣ ≥ 1 ∪ ∣ ≤ 0 ，则 = ． 2 26.双曲线 3 9 = 1 的两条渐近线方程为 ． 7.已知某圆锥的侧面展开图是面积为 2 的半圆，则该圆锥的母线长是 ． 8.已知 是等差数列 的前 项和， 2 = 3, 5 = 8，则 6 = ． 9 1.若事件 与 相互独立，且 ( ) = ( ) = 4，则 ( | ) = ． 10 2 2 5 . 的展开式中 7的系数为 ． 11 .函数 = sin( 2 + )cos( 6 )的最大值为 ． 12 1.已知函数 = ( )的图像是折线段 ，其中 (0,0), 2 , 5 , (1,0)，函数 = ( )(0 ≤ ≤ 1)的图像 与 轴围成的图形的面积为 ． 13.在 中， = 2， = 3，且 sin + sin = 2 21 7 ，则 = ． 14.已知圆心为 、半径为 1 的圆上有三点 、 、 .若 7 + 5 + 8 = 0，则 = ． 第 1页，共 8页 15.已知函数 ( ) = | + | .若 ≠ 0， ( ) = 有 2 个不同的实数根，则实数 的取值范围为 ． 16 2 .考虑这样的等腰三角形：它的三个顶点都在椭圆Γ: 2025 + 2 = 1 上，且其中至少有两个顶点是椭圆的顶 点，则这样的等腰三角形的个数为 ． 三、解答题：本题共 5 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.(本小题 14 分) 如图，在四棱锥 中，四边形 为正方形，已知 ⊥平面 ， 为 中点． (1)证明： //平面 ； (2)证明：平面 ⊥平面 ． 18.(本小题 14 分) 已知 为常数，函数 ( ) = 2 + ( ≠ 0)． (1)根据 的不同取值，讨论函数 = ( )的奇偶性，并说明理由； (2)若 ∈ (1,3)，判断函数 = ( )在(0, + ∞)上的单调性，并求它的单调区间． 19.(本小题 14 分) 某学校有 800 名高中学生，其中男生 512 名，女生 288 名．按照分层抽样原则抽取了 50 名学生，被抽取 的 50 名学生身高全部介于 155 和 195 之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155,160)，第 二组[160,165), ，第八组[190,195]，图是频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六 组的人数为 4 人． (1)求第七组的频率； 第 2页，共 8页 (2)通过计算得到男生身高样本平均数为 173.5 cm，方差为 17，女生身高样本平均数为 163.83 ，方差为 30.03.求该 50 名高中学生身高的样本平均数和方差，并估计该校学生身高的总体方差．(结果精确到 0.01) (3)若从身高属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取两名学生，记他们的身高分别为 , ，记事件 = | | ≤ 5 ，求 ( )． 20.(本小题 14 分) 已知抛物线Γ: 2 = 4 ，点 为Γ的焦点， , , 为Γ上互异的三点． (1)若| | = 2，求 的坐标； (2)过点 的直线交抛物线于 、 两点，求 的值(其中 为坐标原点)； (3)若 为等腰直角三角形，求 面积的最小值． 21.(本小题 14 分) 定义在 上的函数 = ( ), = ( )，若 1 2 ≥ 1 2 对任意的 ... ...