第 22 章二次函数 提分专题 2 实际应用问题 类型 1 利润问题 1.某超市购进一批单价为 7 元/件的生活用品，如果按每件 10 元出售，那么每天可销售 20 件. 经调查发现，这种生活用品的销售单价每提高 1 元，其销售量相应减少 4 件，那么将销售单价 定为____元/件时，才能使每天所获销售利润最大. 答案：11 解析：设销售单价定为 元/件( ≥ 10)，每天所获利润为 元，则 = [20 4( 10)] ( 7) = 4 2 + 88 420 = 4( 11)2 + 64 ，所以将销售单价定为 11 元/件时，才能使每天 所获销售利润最大.故答案为 11. 2.端午节吃粽子是中国传统习俗，在端午节来临前，某超市购进一种品牌粽子，每盒进价是 40 元，并规定每盒售价不得少于 50 元，日销售量不低于 350 盒.根据以往销售经验发现，当每盒 售价定为 50 元时，日销售量为 500 盒，若每盒售价每提高 1 元，则日销售量减少 10 盒.设每 盒售价为 元，日销售量为 盒. （1）当 = 60时， = _____. 解：由题意可得， = 500 10( 50) = 10 + 1 000，即每天的销售量 （盒）与每盒售 价 （元）之间的函数关系式是 = 10 + 1 000( ≥ 50)，当 = 60 时， = 10 × 60 + 1 000 = 400 .故答案为 400. （2）当每盒售价定为多少元时，日销售利润 （元）最大？最大是多少？ 解： = ( 40)( 10 + 1 000) = 10 2 + 1 400 40 000 = 10( 70)2 + 9 000 .由 ≥ 50, 题可知，每盒售价不得少于 50 元，日销售量不低于 350 盒，∴ { 即 ≥ 350, ≥ 50, { 解得50 ≤ ≤ 65. ∵ 10 < 0,65 < 70,∴ 当 = 65时， 取得最大值， 10 + 1 000 ≥ 350, 此时 = 8 750 .故当每盒售价定为 65 元时，日销售利润最大，为 8 750 元. （3）小强说：“当日销售利润最大时，日销售额不是最大.”你认为小强的说法正确吗？若正确， 请说明理由；若不正确，请直接写出正确的结论. 解：正确.理由：设日销售额为 元，则 = [500 10( 50)] = 10 2 + 1 000 = 10( 50)2 + 25 000. ∵ 10 < 0，50 ≤ ≤ 65,∴ 当 = 50时，日销售额最大.∵ 当 = 65时，日销售 利润最大，∴ 小强的说法正确. 类型 2 抛物线形问题 20/64 第 22 章二次函数 3.如图，隧道的纵截面由抛物线和长方形构成，其中长方形的长 = 12 m，宽 = 4 m .按 1 照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用 = 2 + + 表示，且抛物线上的点 到 6 17 墙面 的水平距离为3 m ，到地面 的距离为 m.为安全起见，隧道正中间有宽为0.4 m 的 2 隔离带. （1）求 ， 的值，并计算出拱顶 到地面 的距离. 17 17 1 解：根据题意得 (0,4)， (3， ).把 (0,4)， (3， )代入 = 2 + + 2 2 6 = 4, = 2, 1 得{ 1 2 17 解得{ 所以抛物线解析式为 = 2 + 2 + 4 ， × 3 + 3 + = , = 4, 6 6 2 1 即 = ( 6)2 + 10，所以 (6,10)，所以拱顶 到地面 的距离为10 m . 6 （2）一辆货车载一长方体集装箱后高为6 m，宽为4 m ，那么这辆货车能否安全通过隧道？ 解：由题意得货车最外侧与地面 的交点为(1.8,0)或(10.2,0)，当 = 1.8 或 = 10.2时， = 7.06 > 6 ，所以这辆货车能安全通过隧道. （3）［中］在抛物线形拱壁上需要安装两排灯，且它们离地面的高度相等，如果灯离地面的 高度不超过8 m ，那么两排灯的水平距离最小是多少米？ 1 解：令 = 8，则 ( 6)2 + 10 = 8，解得 1 = 6 + 2√3， 2 = 6 2√3 ， 6 1 2 = 4√3，所以两排灯的水平距离最小是4√3 m . 4.嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏.某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题.如图，在平面 直角坐标系中，一个单位长度代表1 m 长. 嘉嘉在点 (6,1) 处将沙包（看成点）抛出，其运 动路线为抛物线 ： = ( 3)21 + 2 的一部分，淇淇恰在点 (0, ) 处接住，然后跳起将沙 1 包回传，其运动路线为抛物线 ： = 2 2 + + + 1 的一部分. 8 8 21/64 第 22 章二次函数 （1）写出 1的最高点 ... ...
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