母题变式提优 (一) 与三角形有关的求角的思想 母题学方法1转化思想 当所求角与题目中已知角不在同一三角形中时，通过作辅助线将其转化到同一个三角形中，利用三角形的内角和求解. 1. (2025·山东济宁金乡期末)如图,已知∠A =60°,∠B=40°,∠C=30°,则∠D+∠E 等于( ). A. 30° B. 40° C. 50° D. 60° 子题练思维 变式1.1小慧一笔画成了如图所示的图形，若∠A=60°,则∠B+∠C+∠D+∠E 的度数为( ). A. 180° B. 240° C. 270° D. 300° 母题学方法2 分 类讨论思想 当题目中的三角形形状不确定或其内角之间的关系不确定时，需要对其分类讨论，再利用三角形的内角和求解. 2. 在△ABC 中,BE 为△ABC 的高,∠A=50°,∠CBE=20°,则∠ABC= °. 子题练思维 变式2.1 在△ABC 中,AD 为边 BC 上的高,∠BAD=50°,∠CAD=20°,则∠BAC 的度数为 . 变式2.2当三角形中一个内角是另一个内角的3倍时，我们称此三角形为“梦想三角形”.如果一个“梦想三角形”有一个角为 126°，那么这个“梦想三角形”的最小内角的度数为 . 变式2.3 在△ABC 中,∠A=50°,BD,CE是它的两条高,直线 BD,CE 交于点F,则∠DFE= 变式2.4(2025·山东淄博博山区期末)在一个钝角三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“智慧三角形”.例如，三个内角分别为 120°,40°,20°的三角形是“智慧三角形”.如图,∠MON=60°,在射线 OM 上找一点A,过点 A 作AB⊥OM 交ON 于点 B,以 A 为端点作射线AD,交射线OB 于点C. (1)∠ABO 的度数为 °,△AOB (填“是”或“不是”)“智慧三角形”； (2)若∠OAC=20°,求证:△AOC 为“智慧三角形”; (3)当△ABC 为“智慧三角形”时,求∠OAC 的度数.(直接写出答案) 母题学方法3 整体思想 将题目中几个相关联的角当做一个整体并同时进行运算，一般涉及角平分线. 3.(2025·山东济南章丘区期末)如图,在△AOB 中,AO ,BO 分别平分∠OAB,∠OBA,AO ,BO 分别平分∠OAO ,∠OBO ,若∠O=60°,则 （ ） A. 90° B. 100° C. 110° D. 120° 子题练思维 变式3.1 (2025·辽宁阜新太平区期末)在△ABC 中,∠ABC,∠ACB 的平分线BE,CD 交于点F. (1)[问题呈现] 如图(1),若∠A=100°,求∠BFD 的度数; (2)[问题推广] 如图(2),将△ABC沿MN 折叠,使得点A 与点 F重合,若∠1+∠2=160°,求∠BFC 的度数; (3)[问题拓展] 若P,Q 分别是线段 AB,AC上的点,设∠AQP=α,∠ACB=β.射线 CF 与∠APQ 的平分线所在的直线相交于点 H(不与点 P 重合)，直接写出∠PHC 与∠BFC 之间的数量关系(用含α,β的式子表示). (变式3.1) 母题学方法4方程思想 当题目中的几个角有确定的数量关系且直接运算不方便时，一般设出其中一个角，并用这个角表示出其他角，再利用三角形的内角和列出一元一次方程解题. 4.当三角形中一个内角α是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”.如果一个“特征三角形”的一个内角为 42°，那么这个“特征角”α的度数为 . 子题练思维 变式4.1 如图,CD是△ABC 的角平分线,∠1=∠2,∠B=30°,求∠ACB 的度数. 变式4.2 (2025·甘肃张掖甘州区期末)如图,在△ABC中,D 是BC 边上的一点,∠C=∠DAC,∠B=∠ADB,∠BAC=87°,求∠DAC 的度数. 母题变式提优(一)与三角形有关的求角的思想 1. C [解析]连接BC,如图所示, ∵∠A=60°,∠ABE=40°,∠ACD=30°, ∴∠1+∠2=180°-∠A-∠ABE-∠ACD=180°- ∵∠D+∠E=∠1+∠2,∴∠D+∠E=50°.故选 C. 变式1.1 B [解析]如图, 在△BCM中,∠B+∠C+∠BMC=180°, ∴∠BMC=180°-(∠B+∠C). ∵∠AMN=∠BMC,∴∠AMN=180°-(∠B+∠C).在△DEN 中,∠D+∠E+∠DNE=180°, ∴∠DNE=180°-(∠D+∠E). ∵∠ANM=∠DNE,∴∠ANM=180°-(∠D+∠E).在△AMN 中,∠A+∠AMN+∠ANM=180°, ∴∠A+180°-(∠B+∠C ... ...
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