上海市七宝中学2026届高三上学期开学练习数学试卷（含答案）

上海市七宝中学2026届高三上学期开学练习数学试卷 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知、是非零实数，若，则下列不等式成立的是( ) A. B. C. D. 2.已知，且是虚数单位是实系数一元二次方程的两个根，那么的值分别是 A. B. C. D. 3.已知函数是定义在上的奇函数，且满足，当时，则当时，方程实根的个数为( ) A. B. C. D. 4.对于函数，设：对任意的，均有，：对任意的，均有，：函数为偶函数，则 ． A. 、中仅是的充分条件 B. 、中仅是的充分条件 C. 、均是的充分条件 D. 、均不是的充分条件 二、填空题：本题共12小题，每小题5分，共60分。 5.若全集，集合，则 ． 6.双曲线的两条渐近线方程为 ． 7.已知某圆锥的侧面展开图是面积为的半圆，则该圆锥的母线长是 ． 8.已知是等差数列的前项和，，则 ． 9.若事件与相互独立，且，则 ． 10.的展开式中的系数为 ． 11.函数的最大值为 ． 12.已知函数的图像是折线段，其中，函数的图像与轴围成的图形的面积为 ． 13.在中，，，且，则 ． 14.已知圆心为、半径为的圆上有三点、、若，则 ． 15.已知函数若，有个不同的实数根，则实数的取值范围为 ． 16.考虑这样的等腰三角形：它的三个顶点都在椭圆上，且其中至少有两个顶点是椭圆的顶点，则这样的等腰三角形的个数为 ． 三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 如图，在四棱锥中，四边形为正方形，已知平面，为中点． 证明：平面； 证明：平面平面． 18.本小题分 已知为常数，函数． 根据的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由； 若，判断函数在上的单调性，并求它的单调区间． 19.本小题分 某学校有名高中学生，其中男生名，女生名．按照分层抽样原则抽取了名学生，被抽取的名学生身高全部介于和之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，第八组，图是频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为人． 求第七组的频率； 通过计算得到男生身高样本平均数为，方差为，女生身高样本平均数为，方差为求该名高中学生身高的样本平均数和方差，并估计该校学生身高的总体方差．结果精确到 若从身高属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取两名学生，记他们的身高分别为，记事件，求． 20.本小题分 已知抛物线，点为的焦点，为上互异的三点． 若，求的坐标； 过点的直线交抛物线于、两点，求的值其中为坐标原点； 若为等腰直角三角形，求面积的最小值． 21.本小题分 定义在上的函数，若对任意的成立，则称函数是函数的“从属函数”． 若函数是函数的“从属函数”且是偶函数，求证：是偶函数； 若，求证：当时，函数是函数的“从属函数”； 设定义在上的函数与，它们的图像各是一条连续的曲线，且函数是函数的“从属函数”设：“函数在上是严格增函数或严格减函数”；：“函数在上为严格增函数或严格减函数”，试判断是的什么条件？请说明理由． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.； 8. 9. 10. 11. 12. 13.或 14. 15. 16. 17.解：在四棱锥中，四边形为正方形， 连接，，交于点，则是中点，连接， 为中点，则为的中位线， ， 在平面外，平面， 平面． 在四棱锥中，四边形为正方形， ， 平面，平面， ， 平面， 平面， 平面， 平面平面． 18.解：记，定义域为， 当时，， 因为，故函数为偶函数， 当时，， 取，因为且， 即且，所以函数既不是奇函数，也不是偶函数． ， 因为，所以当时，， 当时，， 所以函数在上严格单调递增，在上严格单调递减． 19.解：根据题意可知，第六组的频率为， 则第七组的频率为； 由题意，样本总量为，其中男生样本量为，女生样本量为． 记男生样本为，平均数 ... ...