天津市咸水沽第二中学2026届高三上学期开学考试数学试卷（含答案）

天津市咸水沽第二中学2026届高三上学期开学考试数学试卷 一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。 1.已知集合，且，则( ) A. B. C. D. 2.在中，“”是“”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 3.设，则( ) A. B. C. D. 4.根据分类变量与的观测数据，计算得到依据的独立性检验，结论为 ． A. 变量与不独立 B. 变量与不独立，这个结论犯错误的概率不超过 C. 变量与独立 D. 变量与独立，这个结论犯错误的概率不超过 5.函数在区间的图象大致为( ) A. B. C. D. 6.将名志愿者安排到个不同的社区进行创文共建活动，要求每个社区至少安排名志愿者，每名志愿者只能到一个社区，则不同排法共有( ) A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 7.若函数是上的减函数，则的取值范围是 A. B. C. D. 8.已知圆台的上、下底面圆的半径分别为和，母线为，则圆台的表面积为( ) A. B. C. D. 9.若定义在的奇函数在单调递减，且，则满足的的取值范围是( ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10.的展开式中第项的系数是 用数字作答． 11.已知随机变量服从，若，则 ． 12.曲线在点处的切线方程为 ． 13.已知甲乙丙三人参加射击比赛，甲乙丙三人射击一次命中的概率分别为，且每个人射击相互独立，若每人各射击一次，则三人中恰有两人命中的概率为 ；在三人中恰有两人命中的前提下，甲命中的概率为 ． 14.已知函数若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是 ． 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.已知是定义在上的奇函数，且对于任意的均有当时，，则 ． 16.在中，角、、所对的边分别为，，已知． 求的值； 求的值； 求的值． 17.如图，在三棱锥中，平面，，，，分别是棱，，的中点，，． 求点到直线的距离 求直线与平面所成角的正弦值； 求点到平面的距离． 18.巴东一中组织庆五一教职工篮球活动，我们年级有名教职工参加，其中有名理科教师、名文科教师，为活动的需要，要从这名教师中随机抽取名教职工去买比赛服装． 已知名教师中有名班主任，求抽取的名中至少有名班主任的概率； 设表示抽取的名教师中文科教师的人数，求的分布列及数学期望． 19.如图，是边长为的正方形，平面平面，，，，． 求证：面面； 求直线与平面所成角的正弦值； 在线段上是否存在点，使得平面与平面的夹角的大小为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 20.已知函数． 时，求函数在处的切线方程； 讨论函数的单调性； 证明不等式恒成立． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16.【详解】因为，即，而，代入得，解得：． 由可求出，而，所以，又，所以． 因为，所以，故，又，所以，，而，所以， 故． 17.【详解】三棱锥中，平面，平面，则， 又，，，则， ，， 于是等腰腰上的高， 由，分别是棱，的中点，得，是的中位线， 所以点到直线的距离为． 依题意：以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 又，，分别是棱，，的中点，， 得， 则，设平面的法向量为， 则，取，则， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 由知，， 点到平面的距离， 所以点到平面的距离为． 18.【详解】由于名教师中有名班主任，则名教师中有名不是班主任， 若抽取的名中没有班主任，则有种抽法，从名教师中随机抽取名教职工的方法有种， 故抽取的名中至少有名班主任的概率为 的所有可能取值有：，，，， 故的分布列为： 故期望为： 19.【详解】证明：因为平面平面，平面平面， 平面，且，所以平面， 又因为平面，所以， 由四边形为正方形，可得， 又由，且平面，所以平面． 解：因为两两垂直，所以以为原点，建立如图所示 ... ...