2025-2026学年山东省聊城市临清第三高级中学高三（上）开学摸底 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知向量，，，若，则( ) A. B. C. D. 2.已知函数的部分图象如图所示，则( ) A. B. C. D. 3.的展开式中项的系数为( ) A. B. C. D. 4.瓷器是由瓷石、高岭土、石英石、莫来石等烧制而成的，其外表施有玻璃质釉或彩绘通过在窑内的高温烧制，瓷器表面的釉色会因为温度的不同从而发生各种化学变化某瓷器可近似地看作由一个半球、一个圆柱和一个圆台构成的组合体，如图所示，该瓷器的体积为( ) A. B. C. D. 5.若，，，则( ) A. B. C. D. 6.已知直线与抛物线：相交于，两点，若直线与的斜率之和为，为坐标原点，则( ) A. B. C. D. 7.如图，，，，四个开关控制着五盏灯，其中开关控制着，，号灯，开关控制着，，号灯，开关控制着，，号灯，开关控制着，，号灯开始时，五盏灯均是亮的，现先后按动，，，这四个开关中两个不同的开关，则其中号灯亮的概率为( ) A. B. C. D. 8.两条直线的夹角指的是两条直线所形成的小于或等于的角若曲线与曲线的两条公切线的夹角为，则( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知复数在复平面内对应的点在直线上，则的值可以为( ) A. B. C. D. 10.如图，月牙形是由两段圆弧围成的一个封闭图形，若两段圆弧所在圆的半径相同，两圆的圆心分别为坐标原点和，，，直线：与月牙形只有两个交点，则参考数据： A. B. 圆的方程为 C. 的取值范围为 D. 月牙形的面积约为 11.如图，有一个直三棱柱容器，，，，，为棱上一动点，则( ) A. 异面直线与所成角的余弦值为 B. 的最小值为 C. 三棱锥的外接球的半径为 D. 在这个容器中放入个小球全部进入，则小球的表面积的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知集合，，若，则_____． 13.已知双曲线：的右焦点为，，是双曲线右支上的两点，若，且为的重心，则的中点坐标为_____，直线的方程为_____． 14.已知等差数列满足，，，且数列在区间中的项比在区间中的项多项，则_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 在中，内角，，所对的边分别为，，，． 求； 若的角平分线交于点，且，求． 16.本小题分 如图，在正四棱柱中，，分别为，的中点． 证明：点在平面内 若，求平面与平面夹角的余弦值． 17.本小题分 甲、乙两人进行游戏，且都有个红色弹珠和个黄色弹珠，每人每次独立地随机取出个弹珠相互交换． 若只交换次，求甲的弹珠的颜色相同的概率； 若只交换次，记甲有红色弹珠的个数为，求的分布列及期望； 若一共交换次，最后甲的个弹珠颜色相同，则甲获胜，否则乙获胜，试问这个游戏是否公平？ 18.本小题分 已知函数，． 讨论函数的单调性． 若，函数，当，且时，证明：． 19.本小题分 在平面直角坐标系中，动点到点的距离与到定直线：的距离之比为，记动点的轨迹为． 求轨迹的方程． 已知，点，在轨迹上，且在轴的同侧，，交于点，证明：为定值． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.因为，所以， 所以，所以，因为，所以； 因为，所以， 因为平分，所以，即， 由知，，解得，， 因为，所以 ，解得． 16.解证明：如图所示： 取中点，中点，连接，，，， ，分别为，的中点，且，四边形为平行四边形， ，且，同理可得，且， 且，四边形为平行四边形， 点在平面内； 以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立坐标系， 设，则，则，，，， ，，， 设面的法向量为，面的法向量为 则，，即，， 令，则，，令，则，， ， ... ...
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