2025-2026学年湖南省永州市第一中学高一直升班上学期拓展研学(三)数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若复数满足，其中是虛数单位，则的虚部为( ) A. B. C. D. 2.已知向量，则实数( ) A. B. C. D. 3.的三内角，，所对边长分别是，，，若，则角的大小为( ) A. B. C. D. 4.已知函数，若存在，满足，且，则( ) A. B. C. D. 5.在正方形中，已知是的中点，现以为折痕将折起到的位置，当三棱锥的体积最大时，此时三棱锥外接球的体积为，则( ) A. B. C. D. 6.已知函数，，若，则的最大值为( ) A. B. C. D. 7.已知，，，则( ) A. B. C. D. 8.已知的内切圆圆心为，半径，且满足是内切圆上一动点，则取值范围是( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.函数的部分图象如图所示，则( ) A. 的最小正周期为 B. C. 的一个对称中心为 D. 要得到函数的图象，可以将的图象先向左平移个单位长度， 再将各点横坐标变为原来的倍纵坐标不变 10.已知中，，则下列说法正确的是( ) A. B. C. D. 在上的投影向量为 11.如图，已知正方体的棱长为交平面于点，则下列说法正确的是( ) A. 点是的重心 B. C. 面截正方体外接球所得截面的面积为 D. 以顶点为球心，为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.设集合，当时，实数的取值范围是 ． 13.已知，若方程有四个不同的解、、、且，则的取值范围是 ． 14.设函数，若，则的最大值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知平面向量满足． 求向量与的夹角； 求向量的模． 16.本小题分 如图，设，是平面内相交成且角的两条数轴，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为斜坐标系若向量，则把有序数对叫做向量在斜坐标系中的坐标，记为已知在斜坐标系中，，． 证明：； 当时，，求； 当时，若向量，，已知，求函数的最值． 17.本小题分 如图，在四棱锥中，底面，是的中点，点在棱上，且，四边形为正方形，． 证明：； 求点到平面的距离； 求二面角的余弦值． 18.本小题分 在中，设角，，所对的边分别是，，，且满足． 求角； 若，求面积的最大值； 求的取值范围． 19.本小题分 设，． 求当，的值域； 若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.【详解】由题意， 所以， 即， ． ． ． ． 16.【详解】， ， ． ， 如图，中 ． ， 由可得， 令，则， ， 当时，， 当时，． 17.【详解】证明：因为底面，底面，所以， 因为四边形为正方形，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 在中，因为，是的中点，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以． 连接交于点，如图所示： 则，又因为底面，平面，所以， 因为，平面，所以平面，则点到平面的距离为，因为是的中点，所以， 因为底面正方形边长为，所以，， 所以，， 所以， ，所以． 在中，满足，有， 所以， 设点到平面的距离为， 由可得 由可得平面，因为平面平面， 所以，所以为二面角的平面角， ， 因为，，所以， 所以，解得， 因为，即，所以， 故二面角的余弦值为． 18.【详解】因为， 根据正弦定理得：， 且， 可得， 即， 又因为，则， 可得，整理可得， 且，则， 可得，解得． 由余弦定理得：，即， 可得，解得，当且仅当时，等号成立， 所以的面积为：， 故面积的最大值为． 根据正弦定理得： ， 令，则， 可得， 将原式化为：， 因为，则 ... ...
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