2025-2026学年四川省乐山沫若中学高二上学期开学考试数学试卷 一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知复数 满足 i = 1 + 3i( 为虚数单位)，则 的虚部为( ) A. 1 B. 1 C. 3 D. 3 2.已知圆柱的底面半径为 1，体积为 3π，则该圆柱的侧面积为( ) A. π B. 2π C. 3π D. 6π 3.空间中有两个不同的平面 , 和两条不同的直线 , ，则下列说法中正确的是( ) A.若 // , // ，则 // B.若 // , // , // ，则 // C.若 ⊥ , // , // ，则 ⊥ D.若 // , ⊥ , // ，则 ⊥ 4.如图，在 中， 是边 上一点，且 = 2 ，点 是 的中点．设 = ， = ，则 可以表 示为( ) A. 1 + 1 B. 1 + 1 C. 1 1 2 6 6 2 2 6 D. 1 6 1 2 5.正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，数学家已经证明世界 上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正 二十面体．已知一个正八面体 的棱长都是 2(如图)， ， 分别为棱 ， 的中点，则 =( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 6.如图，在长方体 1 1 1 1中，底面 是边长为 2 的正方形，侧棱 1 = 4，点 , 分别为 1, 的中点，则异面直线 和 1所成角的正弦值为( ) A. 13 B. 5 2 5 2 C. 3 D. 3 第 1页，共 9页 7.已知 cos( + ) = 15 , cos( ) = 3 5，则 tan tan =( ) A. 1 12 B. 2 C. 2 D. 2 8.在平行六面体 1 1 1 1中， ， 分别是线段 1 ， 1 1上的点，且 1 = 2 ， 1 = 2 1， 若 1 1 = 1 1 = 1 = 1，∠ 1 1 1 = 90°，∠ 1 = ∠ 1 = 60°，则下列说法中正确的是( ) → A. 与 1 1的夹角为 45° B. = 1 + 2 + 1 1 3 3 3 C.线段 1 的长度为 1 D.直线 1 与 1所成的角为 60° 二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知 中，点 (1,2)， (2,0)， (3,2)分别为 ， ， 的中点，则( ) A. = (1,2) B. = (1, 2) C.点 的坐标为(2,4) D. 的面积为 4 10.已知函数 ( ) = 3sin π6 ，其中 > 0 π ，且函数的两个相邻对称轴之间的距离为2，则下列说法正确 的是( ) A. = 2 B. π函数图象关于点 24 , 0 对称 C. 0, π函数在区间 6 单调递增 D. π函数的图象可以由 = 3sin 的图象向右平移6个单位得到 11.如图正方体 1 1 1 1的棱长为 1，则下列四个命题中正确的是( ) 第 2页，共 9页 A.正方体被面 1 分割成两部分的体积比为 1: 5 B.点 2到平面 1 1的距离为 2 ． C. 3四面体 1 1的外接球体积为 2 π D.二面角 1 的大小为 60° 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。 12.已知向量 = (2,3), = ( , 6)，且 ‖ ，则 = ． 13.如图， ， 两点在河的两岸，在 同侧的河岸边选取点 ，测得 = 20m，∠ = 75°，∠ = 60°， 则 ， 两点间的距离为 . 14.在《九章算术》中，底面是直角三角形的直三棱柱被称为“堑堵”.如图，三棱柱 1 1 1为一“堑 堵”， 是 1的中点， 1 = = = 4，则该“堑堵”的外接球的表面积为 ；在过点 且与直线 1 平行的截面中，当截面图形为等腰梯形时，该截面的面积为 四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题 13 分) 如图，在四棱锥 中， ⊥平面 ， ⊥ ， 为侧棱 的中点，且 = = = 4． (1)证明： ⊥ ； (2)求三棱锥 的体积． 第 3页，共 9页 16.(本小题 15 分) 3 已知 , , 分别为 三个内角 , , 的对边，且 cos 3 sin = 0． (1)求 ； (2) 3 3若 = 3，且 的面积为 2 ，求 的周长． 17.(本小题 15 分) 函数 ( ) = sin( + )( ∈ R, > 0, > 0, | | < π2 )的部分图象如下图所示． (1)求函数 ( )的解析式； (2)求函数 ( )的单调递增区间； (3) = ( ) 5π将函数 的图象向右平移24个单位长度，再向上 ... ...
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