13.1.3 反证法 课件(共18张PPT) 2025-2026学年华东师大版八年级数学上册

(课件网) 华东师大版·八年级上册 13.1 勾股定理及其逆定理 13.1.3 反证法 情境导入 路边苦李 王戎7岁时，与小伙伴们外出游玩，看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子，只有王戎站在原地不动.伙伴问他为什么不去摘？ 王戎回答说：“树在道边而多子，此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下，果然是苦李. 王戎是怎么知道李子是苦的呢？他运用了怎样的推理方法？ 王戎的推理方法是： 假设李子不苦， 则因树在“道”边，李子早就被别人采摘， 这与“多子”产生矛盾. 所以假设不成立，李为苦李. 探究新知 如图，在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b. A C B a b c （1）当a2+b2=c2时，这是一个什么三角形？ 直角三角形 （2）当a2+b2≠c2时，这个三角形是否一定不是直角三角形呢？ 作出以如下各组数为边长的三角形，算算较短的两边长的平方和是否等于最长边的平方，再观察它们的图形，你发现了什么 （1）a=1.0，b=2.4，c=2.6；（2）a=2，b=3，c=4； （3）a=2，b=2.5，c=3. （1） （2） （3） 12+2.42=2.62 22+32≠42 22+2.52≠32 猜想：当一个三角形的三边长a、b、c（a≤b≤c）存在关系a2+b2≠c2时，这个三角形不是直角三角形. 怎样证明？ 然而，想从已知条件a2+b2≠c2（a≤b≤c）出发，直接经过推理得出结论，十分困难. 我们可以按照刚才王戎的方法推理试试. （1）假设它是直角三角形； （2）根据勾股定理，一定有a2+b2=c2，与已知条件a2+b2≠c2矛盾； （3）因此假设不成立，即它不是直角三角形. 　 先假设结论的反面是正确的，然后通过演绎推理，推出与基本事实、已证的定理、定义或已知条件相矛盾；从而说明假设不成立，进而得出原结论正确． 这种证明方法叫做 反证法 　 先假设结论的反面是正确的，然后通过演绎推理，推出与基本事实、已证的定理、定义或已知条件相矛盾；从而说明假设不成立，进而得出原结论正确． 反证法的一般步骤： 反设 1.假设命题结论的反面成立； 2.推理得出的结论与已知、定义、公理、定理矛盾； 归谬 3.假设不成立即原结论正确； 结论 反证法是数学证明的一种重要方法，历史上许多著名的命题都是用反证法证明的.一个命题，当正面证明有困难或者不可能时，就可以尝试运用反证法，有时问题竟能轻易地被解决，此即所谓“正难，则反”.因此，牛顿就说过：“反证法是数学家最精良的武器之一.”用反证法不是直接证明结论，而是间接地去否定与结论相反的一面，从而得出事物真实的一面.反证法是一种间接的证明方法. 现在再回到勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.即“在△ABC中，如果AB=c，BC=a，CA=b，且∠C=90°，那么a2+b2=c2”是一个真命题. 对于一般的非直角三角形，情况又会如何呢？ 在△ABC中，如果AB=c，BC=a，CA=b，且∠C≠90°，那么a2+b2≠c2是真命题吗？ 先思考作什么假设，再用反证法写出推理过程. 例5 求证：两条直线相交只有一个交点. 已知：两条相交直线l1与l2. 求证：l1与l2只有一个交点. 分析：想从已知条件“两条相交直线l1与l2”出发，经过推理，得出结论“l1与l2只有一个交点”是很困难的，因此可以考虑用反证法. 证明：假设两条相交直线l1与l2不止一个交点，不妨假设l1与l2有两个交点A和B. 这样过点A和点B就有两条直线l1和l2.这与“两点确定一条直线”，即“经过点A和点B的直线只有一条”这个基本事实矛盾. 所以假设不成立，因此两条直线相交只有一个交点. 例6 证明：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°. 已知：△ABC. 求证：△ABC至少有一个内角小于或等于60°. 证明：假设△ABC中没有一个内角小于或等于60°，即∠A>60°，∠B>60°，∠C>60°. 于是∠A+∠B+∠C > 60°+60°+60°=180 °， 这与 ... ...