4.5 第2课时 等边三角形的性质与判定 素养目标 1.掌握等边三角形的性质和判定. 2.能运用等边三角形的性质和判定解决相关问题. 重点 等边三角形的性质和判定. 【自主预习】 1.等边三角形的三个角、三条边有什么特点 2.有两个角为60°的三角形是什么样的三角形 1.下列条件中,不能得到等边三角形的是 ( ) A.有两个内角是60°的三角形 B.三边都相等的三角形 C.有一个角是60°的等腰三角形 D.有两个外角相等的等腰三角形 2.在△ABC中,AB=AC=2,∠B=60°,则BC的长为 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5 【合作探究】 知识点一：等边三角形的性质 阅读课本本课时“探究”及之前一段文字的内容,回答下列问题. 1.旧知回顾: 的三角形是等边三角形. 2.讨论:(1)等边三角形是等腰三角形吗 符合“等边对等角”的性质吗 (2)由“等边对等角”可知等边三角形的三个内角都 ,由三角形的内角和为180°可知等边三角形的每个内角都为 . 等边三角形符合等腰三角形的所有性质,并且等边三角形三个内角 ,每个内角都等于 . 1.已知△ABC为等边三角形,则∠A的度数是 ( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 知识点二：等边三角形的判定 阅读课本本课时“说一说”至“例4”的内容,回答下列问题. 思考:在等腰三角形中,(1)由等边对等角可知有两个 相等. (2)若顶角为60°,则两个底角为 ;若底角为60°,则顶角为 . 1.三个角都 的三角形是等边三角形. 2.有一个角是60°的等腰三角形是 三角形. 2.如图,在△ABC中,AB=BC,BD是中线,延长BC至点E,使CE=CD,若BD=ED,求证:△ABC是等边三角形. 等边三角形判定与性质的综合应用 例 如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AD⊥BC,垂足为G,且AD=AB,∠EDF=60°,其两边分别交边AB,AC于点E,F. (1)求证:△ABD是等边三角形. (2)求证:BE=AF. 变式训练 如图,在△ABC中,D,E在直线BC上. (1)若AB=BC=AC=CE=BD,求∠EAC的度数. (2)若AB=AC=CE=BD,∠DAE=100°,求∠EAC的度数. 参考答案 【自主预习】 预学思考 1.等边三角形的三个角相等且都等于60°,三条边相等. 2.等边三角形. 自学检测 1.D 2.A 【合作探究】 知识生成 知识点一 1.三条边都相等 2.(1)是,符合. (2)相等 60° 归纳总结 相等 60° 对点训练 1.C 知识点二 (1)底角 (2)60° 60° 归纳总结 1.相等 2.等边 对点训练 2.证明:因为在△ABC中,AB=BC,BD是中线, 所以BD⊥AC,所以∠BDC=90°. 因为CE=CD,所以∠E=∠CDE. 因为BD=DE,所以∠DBE=∠E. 在△BDE中,∠DBE+∠BDE+∠E=180°, 所以∠DBE+90°+∠CDE+∠E=180°, 即3∠DBE+90°=180°, 所以∠DBE=30°,∠BCD=60°. 因为AB=BC,所以△ABC是等边三角形. 题型精讲 题型 例 证明:(1)因为AB=AC,AD⊥BC, 所以∠BAD=∠DAC=∠BAC. 因为∠BAC=120°, 所以∠BAD=∠DAC=×120°=60°. 因为AD=AB, 所以△ABD是等边三角形. (2)由(1)知△ABD是等边三角形, 所以∠ABD=∠ADB=60°,BD=AD. 因为∠EDF=60°,所以∠ADB=∠EDF, 所以∠ADB-∠ADE=∠EDF-∠ADE, 所以∠BDE=∠ADF. 在△BDE和△ADF中, 所以△BDE≌△ADF(角边角), 所以BE=AF. 变式训练 解:(1)因为AB=BC=AC, 所以△ABC是等边三角形,所以∠ACB=60°. 因为AC=CE,所以∠E=∠EAC. 又因为∠E+∠EAC=∠ACB=60°, 所以∠EAC=30°. (2)因为AB=AC,所以∠ABC=∠ACB. 因为AB=BD,AC=CE, 所以∠BAD=∠D,∠EAC=∠E. 又因为∠ABC=∠BAD+∠D=2∠D,∠ACB=∠EAC+∠E=2∠E, 所以∠D=∠E.因为∠D+∠E=180°-∠DAE=80°, 所以∠E=40°,即∠EAC=∠E=40°. ... ...
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