4.6 第1课时 线段的垂直平分线的性质 素养目标 1.经历探究垂直平分线的过程,理解垂直平分线的性质定理. 2.知道垂直平分线性质的逆定理,能判定一个点是否在线段的垂直平分线上. 3.能画出等腰三角形底边的垂直平分线,解决简单的几何问题. 重点 线段的垂直平分线的性质. 【自主预习】 1.线段的垂直平分线上一点到线段的两个端点的距离有什么关系 2.到线段的两个端点的距离相等的点在什么线上 1.线段AB的垂直平分线上有一点P,若PA=3,则PB的长为 ( ) A.3 B.4 C.2 D.6 2.三角形内有一点到三角形三顶点的距离相等,则这点一定是三角形的 ( ) A.三条中线的交点 B.三边垂直平分线的交点 C.三条高的交点 D.三条角平分线的交点 【合作探究】 知识点一：线段的垂直平分线的性质1 阅读课本本课时“探究”及之前的内容,回答下列问题. 1.垂直且平分一条线段的 叫作这条线段的 线.线段是 图形,线段的 是它的对称轴. 2.(1)猜想:如图,在线段AB的垂直平分线CD上任意取一点P,由于PD是线段AB的对称轴,PA=PB吗 (2)如何证明PA=PB 已知CD是线段AB的垂直平分线,设O是垂足. 则有, 所以△AOP≌ ,可得PA= . 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离 . 1.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,ED为AB的垂直平分线,则∠EBC的度数是 ( ) A.50° B.40° C.30° D.70° 知识点二：线段的垂直平分线的性质2 阅读课本本课时“说一说”至“例1”的内容,回答下列问题. 1.回忆:写出线段的垂直平分线的性质的逆命题. 2.思考:线段的垂直平分线的性质的逆命题是真命题吗 如果是,如何证明 如图,PA=PB,过点P作PC⊥AB,垂足是C,则可证明△APC≌ ,从而可得PC AB. 到线段两端点距离相等的点在线段的 上. 3.讨论:通过课本“例1”的学习,三角形两边垂直平分线的交点一定在第三边的垂直平分线上吗 这个点到三角形三个顶点的距离相等吗 三角形三边的垂直平分线相交于一点,这点到三角形三个 的距离 . 2.如图,在△ABC中,AD是高,在线段DC上取一点E,使BD=DE,已知AB+BD=DC. 求证:点E在线段AC的垂直平分线上. 线段的垂直平分线性质的综合应用 例 如图,在△ABC中,∠BAC>90°,AB的垂直平分线分别交AB,BC于点E,F,AC的垂直平分线分别交AC,BC于点M,N,直线EF,MN交于点P. (1)求证:点P在线段BC的垂直平分线上. (2)若∠FAN=56°,求∠FPN的度数. 变式训练 如图,在△ABC中,边BC的垂直平分线MN交边AC于点D,交边BC于点E,连接BD. (1)若CE=4,△ABD的周长为10,求△ABC的周长. (2)若∠ADM=60°,∠ABD=20°,求∠A的度数. 参考答案 【自主预习】 预学思考 1.相等. 2.在线段的垂直平分线上. 自学检测 1.A 2.B 【合作探究】 知识生成 知识点一 1.直线 垂直平分 轴对称 垂直平分线 2.(1)相等. (2)BO ∠BOP PO △BOP PB 归纳总结 相等 对点训练 1.C 知识点二 1.到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 2.△BPC 垂直平分 归纳总结 垂直平分线 3.在,相等. 归纳总结 顶点 相等 对点训练 2.证明:因为AD是高,所以AD⊥BC. 又因为BD=DE, 所以AD所在的直线是线段BE的垂直平分线, 所以AB=AE, 所以AB+BD=AE+DE. 又因为AB+BD=DC, 所以DC=AE+DE, 所以DE+EC=AE+DE, 所以EC=AE, 所以点E在线段AC的垂直平分线上. 题型精讲 题型 例 解:(1)证明:如图,连接BP,AP,PC. 因为PE垂直平分AB,PM垂直平分AC, 所以PA=PB,PA=PC, 所以PB=PC, 所以点P在线段BC的垂直平分线上. (2)因为PE⊥AB,PM⊥AC, 所以FA=FB,NA=NC,∠AEP=∠AMP=∠BEF=∠CMN=90°, 所以∠B+∠BFE=∠C+∠MNC=90°. 设∠B=x,∠C=y, 所以∠B=∠BAF=x,∠C=∠CAN=y,∠BFE=90°-x,∠MNC=90°-y, 所以∠PFN=∠BFE=90°-x,∠PNF=∠MNC=90°-y. 因为∠B+∠C+∠C ... ...
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