华东师大版数学九年级上册24.4解直角三角形 同步课堂（原卷版+解析版）

24.4解直角三角形 【知识点1】解直角三角形的应用-仰角俯角问题 1 【知识点2】解直角三角形的应用-方向角问题 1 【知识点3】解直角三角形的应用-坡度坡角问题 1 【知识点4】解直角三角形的应用 2 【知识点5】解直角三角形 2 【题型1】解直角三角形 3 【题型2】解直角三角形的应用———高度深度宽度长度问题 5 【题型3】解直角三角形的应用———方向角问题 7 【题型4】解直角三角形的应用———坡度坡角问题 12 【题型5】解直角三角形的应用———仰角俯角问题 14 【知识点1】解直角三角形的应用-仰角俯角问题 （1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角． （2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决． 【知识点2】解直角三角形的应用-方向角问题 （1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数． （2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角． 【知识点3】解直角三角形的应用-坡度坡角问题 （1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1：m的形式． （2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i=h/l=tanα． （3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题． 应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等． 【知识点4】解直角三角形的应用 （1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问． 如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度． （2）解直角三角形的一般过程是： ①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）． ②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案． 【知识点5】解直角三角形 （1）解直角三角形的定义 在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形． （2）解直角三角形要用到的关系 ①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B=90°； ②三边之间的关系：a2+b2=c2； ③边角之间的关系： sinA==，cosA==，tanA==． （a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边） 1.（2024秋 和平区期末）如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若△ABC的顶点均是格点，则sinB的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据勾股定理可以求得AB的长，再根据锐角三角函数，即可求得sinB的值． 【解答】解：由图可得， AB===3， ∴sinB===， 故选：D． 2.（2024秋 宁阳县期中）如图，在4×4的正方形方格图形中，每个小正方形边长为2，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则图中∠ABC的正弦值是（　　） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据勾股定理的逆定理判断出△ABC的形状，再由锐角三角函数的定义即可得出结论． 【解答】解：由勾股定理可得AC2=22+42=20，BC2=12+22=5，AB2=32+42=25， ∴AC2+BC2=AB2， ∴△ABC是直角三角形， ∴sin∠ABC==， 故选：B． 【题型1】解直角三角形 【典型例题】在Rt△A ... ...