第二十二章 二次函数--利用二次函数求解最值问题 重点题型梳理 专题练 2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册

中小学教育资源及组卷应用平台 第二十二章 二次函数--利用二次函数求解最值问题 重点题型梳理 专题练 2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册 一、利用二次函数求线段最值的问题 1．（2025·福建·二模）如图，已知二次函数的图像与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，作直线． (1)求直线的函数表达式； (2)P是第一象限内抛物线上一动点，过点P作于点Q，当线段取得最大值时，求点P的坐标． 2．（2025·安徽阜阳·三模）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，连接．D是在第一象限内的抛物线上的一个动点，连接，交线段于点E． (1)求该抛物线的表达式； (2)若点E在该抛物线的对称轴上，求的长； (3)过点D作y轴的平行线，交于点F，求的最大值． 3．（2025·安徽合肥·二模）如图，点、、在抛物线上． (1)求抛物线的解析式． (2)点是线段上一个动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，求线段长度最大时点的坐标． (3)点是抛物线上的动点，在轴上是否存在点，使得以点 ，，， 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由． 二、利用二次函数求线段和最值的问题 4．如图，抛物线交轴于点和点，交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点为该抛物线对称轴上的一点，当最小时，求点的坐标． 5．（2025·青海西宁·一模）已知，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点B，C，与y轴交于点A，其中． (1)求抛物线的函数表达式 (2)如图1，连接，点P是直线上方抛物线上一动点，过点P作轴交于点K，过点K作轴，垂足为点E；求的最大值并求出此时点P的坐标； 6．（2025·海南海口·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和，与x轴的另一个交点为点C，其顶点D的横坐标为1． (1)求抛物线的表达式； (2)求四边形的面积； (3)若直线与x轴交于点N，在第一象限内与抛物线交于点M，当m取何值时，使得有最大值，并求出最大值； (4)当时，二次函数的最大值与最小值的差为9，求n的取值范围． 三、利用二次函数求线段差最值的问题 7．（2025·河北·一模）如图，已知抛物线过点，且它的对称轴为． (1)求此抛物线的解析式； (2)若点P是抛物线对称轴上的一点，当的面积为21时，求点P的坐标； (3)在（2）条件下，当点P在上方时，M是抛物线上的动点，求的最大值． 8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点B，A在B的左侧，与y 轴交于点C，点P为直线上方抛物线上一动点． (1)求直线的解析式； (2)过点作y轴的平行线交于点M，求线段时点的坐标； (3)过作轴，交于M，当的值最大时，求的坐标和的最大值． 9．如图，直线与抛物线交于A，B两点，点A在y轴上，点B在x轴上． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是第一象限的抛物线上一点，点P位于何处时四边形面积最大，此时P点的坐标为_____，四边形的面积的最大值为_____． (3)在（2）的条件下，在抛物线的对称轴上找点Q使值最大，求Q点坐标及的最大值． 四、利用二次函数求周长最值的问题 10．已知，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点． (1)求点A、B、C三点的坐标； (2)过点A作交抛物线于点P，求四边形的面积； (3)在（2）的条件下，在线段上是否存在一点M，使的周长最小？若存在，请直接写出周长的最小值；若不存在，请说明理由． 11．如图，抛物线的图象与轴交于两点，与轴交于点，顶点为． (1)求此抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标并计算的周长；若不存在，请说明理由； (3)设点在第四象限，且在抛物线上，当的面积最大，求此时点的坐标．（直接写出结果） 12．（2025·甘肃定西·三模）如图1，抛物线与轴交于两点，与轴交于，直线经过点，且与轴交于点，与抛物线交于点． (1 ... ...