第二十二章 二次函数--二次函数的综合题专训之等腰三角形、直角三角形存在性问题 重点题型梳理 专题练 2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册

中小学教育资源及组卷应用平台 第二十二章 二次函数--二次函数的综合题专训之等腰三角形、直角三角形存在性问题 重点题型梳理 专题练 2025-2026学年 上学期初中数学人教版九年级上册 一、二次函数的综合题专训之等腰三角形存在性问题 方法归纳 1.解题思路：先设动点坐标（含参数），结合二次函数表达式确定顶点、交点等关键坐标；再分三种情况（两腰为已知边、一动一静边、两动边）讨论等腰三角形构成。 2.解题技巧：用两点间距离公式将边长转化为含参数的代数式，简化计算；利用二次函数对称性减少分类，结合图形范围验根防漏解。 3.解题方法：以代数方程法为主，列边长相等的方程求解参数；辅以几何法（如垂直平分线性质）快速定位可能点，最后结合函数定义域确定有效解。 1．如图，抛物线（a、c为常数，）与x轴交于点两点，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点P是抛物线上的一个动点，连接，若是以为底边的等腰三角形，求点P的坐标． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B两点，与y轴交于点且的面积为8，D是中点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点P是第四象限内该抛物线上一动点，求面积的最大值． (3)若点G是该抛物线对称轴上的一点，且是等腰三角形，请直接写出点G 的坐标 3．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．过点的直线与轴交于点，与抛物线交于点，连接，已知． (1)求的长． (2)求的面积． (3)抛物线对称轴上是否存在一点，使以，，为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 二、二次函数的综合题专训之直角三角形存在性问题 方法归纳 1.解题思路：先确定抛物线与坐标轴交点等定点（如A、B），设抛物线上动点P(x,y)，分∠A=90°、∠B=90°、∠P=90°三类讨论直角顶点。 2.解题技巧：用勾股定理（PA +PB =AB 等）或斜率乘积为-1（垂直）列方程，借抛物线表达式消y，结合x范围验根。 3.解题方法：代数法为主，列坐标方程求解；辅以几何法（过A、B作垂线交抛物线得P），结合图形验证直角合理性。 4．如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，连接，． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点为抛物线对称轴上一点，是否存在点，使为直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，抛物线经过点，，． (1)求抛物线的解析式； (2)设点P为对称轴上的一点，若使最小，求出此时点P的坐标： (3)设抛物线的顶点为D，轴于点E，在y轴上是否存在点M使得是直角三角形 若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由 6．如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知． (1)求抛物线的表达式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是直角三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由； (3)点M是线段BC上的一个动点，过点M作x轴的垂线，与抛物线相交于点N，当点M移动到什么位置时，使的面积最大？求出的最大面积及此时M点的坐标． 三、二次函数的综合题专训之等腰直角三角形存在性问题 方法归纳 1.解题思路：确定抛物线定点（如A、B），设动点P，分∠A、∠B、∠P为直角顶点三类，每类需满足“直角”+“两直角边相等”。 2.解题技巧：用坐标表边长，结合勾股定理（直角）与距离相等（等腰）列方程，借抛物线消y；利用斜率（垂直时积为-1）简化计算，结合图形限x范围。 3.解题方法：代数法联立直角与等腰方程求解；几何法构造全等（如过P作横纵垂线，使直角边等长），验证交点合理性。 7．如图，将抛物线向右平移个单位得到新抛物线，新抛物线的顶点为，与轴交于点，且为等腰直角三角形． (1)求的值； (2)在新抛物线上是否存在一点，使为等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐 ... ...