3.2 圆的对称性 素养目标 1.知道圆的对称性,明白圆在运动变化中的特点. 2.掌握在同圆或等圆中,圆心角、弧、弦之间的对应相等关系定理. ◎重点::圆心角、弧、弦之间关系定理. 【预习导学】 知识点一：圆的对称性 阅读教材本课时“做一做”前面的内容,并回答下列问题. 圆既是 ,又是 ,把圆绕着圆心旋转任意角度,均与原来的图形 ,这就是圆的旋转不变性. 知识点二：圆心角、弧、弦之间的相等关系定理 阅读教材本课时“做一做”及后面的内容,思考下列问题. 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别 . 如图,在☉O中,=,∠A=30°,则∠B的度数为 ( ) A.150° B.75° C.60° D.15° 【合作探究】 任务驱动一：下列结论中,不正确的是 ( ) A.圆是轴对称图形,任意一条直径所在的直线都是它的对称轴 B.圆不仅是特殊的轴对称图形,也是特殊的中心对称图形 C.当圆绕它的圆心旋转89°57'时,不会与原来的圆重合 D.圆的对称轴有无数条,对称中心只有一个 任务驱动二：下列命题中,正确的是 ( ) ①顶点在圆心的角是圆心角;②相等的圆心角,所对的弧也相等;③两条弦相等,它们所对的弧也相等;④在等圆中,圆心角不等,所对的弦也不等. A.①和② B.①和③ C.①和④ D.①②③④ 任务驱动三：如图,AB、CD、EF都是☉O的直径,且∠1=∠2=∠3,弦AC,EB,DF是否相等 为什么 任务驱动四：如图,弦DC,FE的延长线交于☉O外一点P,直线PAB经过圆心O,请你根据现有圆形,添加一个适当的条件: ,使∠1=∠2. 任务驱动五：如图,在☉O中,弦AB的长是半径OA的倍,C为的中点,AB,OC相交于点M.试判断四边形OACB的形状,并说明理由. 1.下列说法中,正确的是 ( ) A.等弦所对的弧相等 B.等弧所对的弦相等 C.相等的圆心角所对的弦也相等 D.相等的弦所对的圆心角也相等 2.如图,已知☉O的半径等于1 cm,AB是直径,C,D是☉O上的两点,且==,则四边形ABCD的周长等于 ( ) A.4 cm B.5 cm C.6 cm D.7 cm 3.如图,在☉O中,=,有下列结论:①AB=CD;②AC=BD;③∠AOC=∠BOD;④=.其中正确的是 (填序号). 4.如图,在☉O中,=,∠ACB=60°. (1)求证:∠AOB=∠BOC=∠AOC. (2)若D是的中点,求证:四边形OADB是菱形. 参考答案 【预习导学】 知识点一 轴对称图形 中心对称图形 重合 知识点二 相等 对点自测 B 【合作探究】 任务驱动一 C 任务驱动二 C 任务驱动三 解:弦AC,EB,DF相等.理由:因为∠AOC=∠1,∠BOE=∠2,∠DOF=∠3,而∠1=∠2=∠3,所以∠AOC=∠BOE=∠DOF.即弦AC,EB,DF相等. 任务驱动四 DC=FE(答案不唯一,符合要求即可) 任务驱动五 解:菱形. 理由:由=,得∠BOC=∠AOC.故OM⊥AB,从而AM=BM. 在Rt△AOM中,sin∠AOM==,故∠AOM=60°,所以∠BOM=60°.由于OA=OB=OC, 故△BOC与△AOC都是等边三角形,故OA=AC=BC=BO=OC,所以四边形OACB是菱形. 素养小测 1.B 2.B 3.①②③④ 4.证明:(1)∵=, ∴AB=AC. ∵∠ACB=60°,∴△ABC是等边三角形, ∴AB=BC=AC,∴==,∴∠AOB=∠BOC=∠AOC. (2)∵∠AOB=∠AOC=∠BOC=120°,OA=OB, ∴∠OAB=∠OBA=30°. ∵∠ACB=60°,∠ADB+∠ACB=180°, ∴∠ADB=120°. ∵=,∴AD=BD,∴∠DAB=∠DBA=30°, ∴∠DAB=∠OBA,∠DBA=∠OAB, ∴AD∥OB,BD∥AO,∴四边形OADB是平行四边形. ∵OA=OB,∴四边形OADB是菱形. ... ...
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