3.5 确定圆的条件 素养目标 1.知道不在同一条直线上的三个点确定一个圆,以及过不在同一条直线上的三个点作圆的方法,知道三角形的外接圆、三角形的外心等概念. 2.经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程,提高自己的探索能力. 3.通过探索不在同一条直线上的三个点确定一个圆的问题,体验解决问题策略的多样性. ◎重点::确定圆的条件. 【预习导学】 知识点一：确定圆的条件 阅读教材本课时“做一做”,并回答下列问题. (1)过已知一点可作 ;(2)过已知两点可作 ;(3)过不在同一条直线上的三点可以作 ,并且只能作 .不在同一条直线上的三个点 一个圆. 知识点二：三角形的外接圆与圆的内接三角形 阅读教材本课时“做一做”及后面的内容,完成下列填空. 1.经过三角形的三个顶点可以作一个圆,这个圆叫作三角形的 (circumcircle of triangle).这个三角形叫这个圆的 .外接圆的圆心是 ,叫作三角形的 (circumcenter). 2.锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的外心位置有怎样的特点 锐角三角形的外心在 ,直角三角形的外心在 ,钝角三角形的外心在 . 如图,☉O是△ABC的外接圆,AC=4,∠ABC=∠DAC,则直径AD为 . 【合作探究】 任务驱动一：下列命题正确的个数有 ( ) ①经过三点一定可以作圆;②任意一个三角形有一个外接圆,而且只有一个外接圆;③任意一个圆有且只有一个内接三角形;④三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等,且都在三角形的内部. A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 任务驱动二：如图,有一个圆形铁片,用圆规和直尺将它分成面积相等的两部分. 任务驱动三：如图,点A,B,C表示三个村庄,现要建一座深井水泵站,向三个村庄分别送水,为使三条输水管长度相同,水泵站应建在何处 请画示意图,并说明理由. 任务驱动四：如图,☉O是△ABC的外接圆,C是优弧AB上一点,连接OA,设∠OAB=α,∠C=β. (1)当α=35°时,求β的度数. (2)猜想α与β之间的关系,并给予证明. 如图,已知△ABC的一个外角∠CAM=120°,AD是∠CAM的平分线,且AD与△ABC的外接圆交于点F,连接FB,FC,且FC与AB交于点E. (1)判断△FBC的形状,并说明理由. (2)请给出一个能反映AB,AC和FA的数量关系的一个等式,并说明你给出的等式成立. 参考答案 【预习导学】 知识点一 (1)无数个圆 (2)无数个圆 (3)一个圆 一个圆 确定 知识点二 1.外接圆 内接三角形 三角形三边垂直平分线的交点 外心 2.三角形的内部 斜边上 三角形的外部 对点自测 4 【合作探究】 任务驱动一 D 任务驱动二 解:如图. 任务驱动三 解:如图,连接AB,BC,分别作AB,BC的中垂线,两线交于点O,点O就是所求. 任务驱动四 解:(1)如图,连接OB,则OA=OB. ∵∠OAB=35°, ∴∠OBA=∠OAB=35°.∵∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA, ∴∠AOB=180°-35°-35°=110°, ∴β=∠C=∠AOB=55°. (2)α与β之间的关系是α+β=90°. 证明:∵∠OBA=∠OAB=α, ∴∠AOB=180°-2α. ∵β=∠C=∠AOB, ∴β=(180°-2α)=90°-α, ∴α+β=90°. 素养小测 解:(1)△FBC是等边三角形, ∵∠CAM=120°,∠CAM的平分线AD与BC的延长线相交于点D, ∴∠MAD=∠DAC=60°,∠CAB=180°-∠MAC=60°,∴∠BFC=∠BAC=60°,∠BAF=∠MAD=60°,∴∠BCF=∠BAF=60°,∴∠FBC=60°,∴△FBC为等边三角形. (2)AB=AC+FA.在AB上取一点G,使AG=AC,则由于∠BAC=60°,故△AGC是等边三角形,从而∠BGC=∠FAC=120°,又∠CBG=∠CFA,BC=FC,故△BCG≌△FCA,从而BG=FA,又AG=AC,∴AC+FA=AG+BG=AB. ... ...
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