24.2 第3课时 圆心角、弧、弦、弦心距间关系 素养目标 1.知道圆是旋转对称图形,旋转中心为圆心,知道圆心角的概念. 2.知道圆心角、弧、弦、弦心距之间的对应关系定理及其推论. 3.能运用圆心角、弧、弦、弦心距四者对应相等的关系解决相关问题. ◎重点:圆心角、弧、弦、弦心距四者对应关系定理及推论. 【预习导学】 知识点一：圆的旋转对称性 阅读课本本课时“探究”,回答下列问题. 1.概念:圆既是一个轴对称图形,又是一个 对称图形, 是旋转中心. 2.如图,所对应的∠AOB,顶点在 上,称为 角. 知识点二：弦、弧、圆心角、弦心距四者关系定理 阅读课本本课时“例4”之前的内容,回答下列问题. 观察:在如图所示的☉O中取一段弧,连接OA,OB,将绕点O旋转至任意一个位置. 说一说:你能发现哪些等量关系 能说说你猜测的结论吗 归纳总结 运用“圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理”时要注意:(1)不能忽略“ ———这个前提条件,否则,虽然圆心角相等,但所对的 不一定相等;(2)此定理中的“弧”一般指 . 1.下列说法正确的是 ( ) A.相等的圆心角所对的弧相等 B.在同圆中,等弧所对的圆心角相等 C.在同圆中,相等的弦所对的弧相等 D.相等的弦所对的弧相等 2.在半径为1的☉O中,若弦AB的长为1,则弦AB所对的圆心角的度数为 ( ) A.90° B.60° C.30° D.15° 3.如图,AB为半圆O的直径,C,D为的三等分点.若∠COD=50°,则∠BOE的度数是 ( ) A.25° B.30° C.50° D.60° 【合作探究】 任务驱动一 圆心角的度数和弧的度数 1.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠B=25°,以点C为圆心,CA的长为半径的圆交AB于点D,求弧AD的度数. 任务驱动二 弦、弧、圆心角、弦心距四者关系定理的应用 2.如图,在☉O中,C,D是直径AB上两点,且AC=BD,MC⊥AB,ND⊥AB,点M,N在☉O上. (1)求证:=. (2)若C,D分别为OA,OB的中点,则==成立吗 为什么 1.如图,在☉O中,若C是的中点,∠AOC=45°,则∠AOB的度数为 ( ) A.45° B.80° C.85° D.90° 2.如图,AB是☉O的直径,CD为☉O的弦,若AB⊥CD于点E,下列结论:①CE=DE,②=,③=,④AC=AD.其中正确的有 (填序号). 3.如图,AB为☉O的弦,半径OC,OD分别交AB于点E,F.且=. (1)求证:AE=BF. (2)作半径ON⊥AB于点M,若AB=12,MN=3,求OM的长. 参考答案 【预习导学】 知识点一 1.旋转 圆心 2.圆心 圆心 知识点二 △AOB≌△A'OB',∠AOB=∠A'OB',=,AB=A'B'. 因此,在同一个圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等. 归纳总结 (1)在同圆或等圆中 弧、弦、弦心距 (2)劣弧 对点自测 1.B 2.B 3.B 【合作探究】 任务驱动一 1.解:如图,连接CD. ∵∠ACB=90°,∠B=25°, ∴∠A=65°. ∵CD=CA, ∴∠CDA=65°, ∴∠DCA=180°-65°×2=50°, ∴弧AD的度数为50°. 任务驱动二 2.解:(1)如图,连接OM,ON, 在Rt△OCM和Rt△ODN中OM=ON,OA=OB, ∵AC=DB,∴OC=OD, ∴Rt△OCM≌Rt△ODN, ∴∠AOM=∠BON,∴=. (2)成立. ∵OC=OM,可知∠AOM=60°, 同理可证∠BON=60°,故∠MON=60°, ∴==. 素养小测 1.D 2.①②③④ 3.解:(1)证明:如图1,连接OA,OB. ∵OA=OB, ∴∠A=∠B. ∵=, ∴∠AOE=∠BOF. 在△AOE和△OBF中, ∴△AOE≌△BOF(ASA), ∴AE=BF. (2)连接OA,如图2所示. ∵OM⊥AB, ∴AM=AB=6, 设OM=x,则OA=ON=x+3, 在Rt△AOM中,由勾股定理得62+x2=(x+3)2, 解得x=4.5, ∴OM=4.5. ... ...
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