24.4 第3课时 切线长定理 素养目标 1.能过圆外一点,准确作出该圆的两条切线. 2.通过作圆的切线与切线的性质,探究切线长定理. 3.了解切线长定理的证明过程,能用切线长定理解决相关问题. ◎重点:切线长定理. 【预习导学】 知识点：切线长定理 阅读本课时所有内容,回答下列问题. 1.思考:在“ 例4”中,以OP为直径作圆,得到的线PA,PB为什么是☉O的切线 观察并推理:△PAO≌ ,线段PA= . 2.揭示概念:从圆外一点能够作圆的 条切线,且这一点到 间的线段长叫作这点到圆的 . 归纳总结 切线长定理:从圆外一点可以引圆的 切线,它们的切线长 ,这一点和圆心的连线平分 . 3.明晰概念:切线长与切线是两个不同的概念,切线是 ,不能度量;切线长是 ,这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点,可以度量. 1.如图,PA,PB分别是☉O的切线,A,B分别为切点,E是☉O上一点,且∠AEB=60°,则∠P的度数为 ( ) A.120° B.60° C.30° D.45° 2.如图,PA,PB是☉O的切线,A,B为切点,AC是☉O的直径.若∠BAC=25°,则∠P= °. 3.如图,AB,AC,BD是☉O的切线,P,C,D为切点.如果AB=8,AC=5,那么BD的长为 . 【合作探究】 任务驱动一 切线长定理的运用 1.如图,P为☉O外一点,PA,PB为☉O的切线,A和B是切点,AC∥OP.求证:BC是☉O的直径. 方法归纳交流 过圆外一点有两条切线,通常需要作连接两切点的辅助线,或者连接圆心与切点,运用相切的性质. 任务驱动二 实际问题中的切线长 2.如图,直尺、三角尺都和☉O相切,AB=8 cm,求☉O的半径. 任务驱动三 运用切线长定理求周长 3.如图,已知△ABC的三边BC,AC,AB分别与☉O相切于点D,E,F,若AF=2,BD=7,CE=4. (1)求△ABC的三边长. (2)如果P为弧上一点,过点P作☉O的切线,交AB于点M,交BC于点N,求△BMN的周长. 1.如图,PA,PB切☉O于点A,B,直线FG切☉O于点E,交PA于点F,交PB于点G.若PA=8 cm,则△PFG的周长是 ( ) A.8 cm B.12 cm C.16 cm D.20 cm 2.如图,四边形ABCD是☉O的外切四边形,且AB=10,CD=15,则四边形ABCD的周长为 . 3.如图,P为☉O外一点,PA,PB为☉O的切线,A和B是切点,PA=10,∠P=50°,F是优弧AB上一点. (1)求∠AFB的度数. (2)若CD是☉O的切线,切点为E,求△PCD的周长. 参考答案 【预习导学】 知识点 1.△PBO PB 2.两 切点 切线长 归纳总结 两条 相等 两条切线的夹角 3.直线 线段长 对点自测 1.B 2.50 3.3 【合作探究】 任务驱动一 1.证明:如图,连接AB. ∵PA,PB分别切☉O于点A,B, ∴PA=PB,∠APO=∠BPO, ∴OP⊥AB.∵AC∥OP, ∴AC⊥AB,∴∠BAC=90°, ∴BC是☉O的直径. 任务驱动二 2.解:连接OA,OB(图略),∠CAB=180°-60°=120°. ∵AB,AC与圆O相切, ∴OA平分∠CAB,即∠OAB=∠CAB=60°, BO⊥AB. ∵AB=8 cm,∠OBA=90°, ∴OA=16 cm, ∴根据勾股定理,得OB=8 cm. 任务驱动三 3.解:(1)∵☉O分别和边BC,AC,AB切于点D,E,F, ∴AE=AF=2,BF=BD=7,CD=CE=4, ∴AB=AF+BF=9,BC=BD+CD=11,AC=AE+CE=6. (2)∵☉O分别和BC,AB,MN切于点D,F,P, ∴MP=MF,NP=ND, ∴MP+NP=MF+ND, ∴BM+MN+BN=BM+MP+NP+BN=BM+MF+ND+BN=BF+BD=14. 故△BMN的周长为14. 素养小测 1.C 2.50 3.解:(1)如图,连接OA,OB,∵PA,PB为☉O的切线, ∴∠PAO=∠PBO=90°.∵∠P=50°, ∴∠AOB=360°-90°-90°-50°=130°, ∴∠AFB=65°. (2)∵CD是☉O的切线,∴CA=CE,DB=DE, ∴AC+BD=CD, △PCD的周长=PC+PD+CD=PC+PD+AC+BD=PA+PB=20. ... ...
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