24.5 三角形的内切圆 素养目标 1.知道三角形的内切圆和内心的概念,比较三角形的内心与外心的特点. 2.知道三角形内心的性质,能根据性质画三角形的内切圆. 3.能借助三角形内切圆的相关性质解决几何问题. ◎重点:三角形内切圆的性质. 【预习导学】 知识点一：三角形的内切圆及其性质 阅读课本本课时所有的内容,思考下列问题. 1.在“图24-50”中,△ABC内部可以作出一个面积最大的圆,这个圆与△ABC三边的位置关系是 . 2.和三角形的三边都相切的圆,叫作三角形的 ,内切圆的圆心叫作三角形的 . 3.思考:三角形内部的一点若要到三角形任意两边的距离相等,则这点必在这两边组成的角的 上,三角形的内心到三角形三边的距离相等,所以内心是三角形三条 的交点. 知识点二：三角形的内心和外心 定义 确定方法 图形 性质 外 心 三角形外接圆的圆心 三角形三边中垂线的交点 1.AO=BO=CO; 2.外心O不一定在三角形的内部 三角形内切圆的圆心 三角形三条角平分线的交点 1.点O到三角形三边的距离相等; 2.AO,BO,CO分别平分∠BAC,∠ABC,∠BCA; 3.内心O一定在三角形的内部 学法指导：三角形的内切圆只有 个,外接圆也只有 个;而圆的外切三角形有 个,内接三角形也有 个. 1.在△ABC中,AO,BO分别平分∠BAC,∠ABC,则O是△ABC的 ( ) A.外心 B.内心 C.中线交点 D.高线交点 2.如图,☉O是△ABC的内切圆,且∠ABC=50°,∠ACB=80°,则∠BOC的度数为 ( ) A.125° B.120° C.115° D.110° 3.如图,在△ABC中,∠BIC=125°,I是内心,O是外心,则∠BOC= °. 【合作探究】 任务驱动一 内切圆半径、多边形周长和面积的关系 1.△ABC的内切圆半径为r,△ABC的周长为l,求△ABC的面积. 归纳总结 三角形的面积等于三角形的周长与其内切圆半径乘积的一半. 任务驱动二 直角三角形内切圆半径与边长 2.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB,BC,CA的长分别为c,a,b,求△ABC的内切圆半径. 任务驱动三 三角形内切圆的综合应用 3.如图,△ABC内接于☉O,点P是△ABC的内切圆的圆心,AP交边BC于点D,交☉O于点E,经过点E作☉O的切线分别交AB,AC的延长线于点F,G.求证:BC∥FG. 方法归纳交流 三角形的内切圆与三角形的三边都相切,由此我们可以联想到切线的性质和切线长定理等知识.三角形的内心是三条内角平分线的交点,我们又可以联想到角平分线的相关性质.要关注前后知识之间的联系. 1.当一个三角形的内心与外心重合时,这个三角形一定是 ( ) A.直角三角形 B.等腰直角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 2.《九章算术》是我国古代数学名著,也是古代东方数学的代表作之一.书中记载了一个问题:“今有勾五步,股十二步,问勾中容圆径几何 ”译文:“如图,今有直角三角形, 勾(短直角边)长为5步,股(长直角边)长为12步,问该直角三角形能容纳的圆(内切圆)的直径是多少步 ”根据题意,该直角三角形内切圆的直径为 步. 参考答案 【预习导学】 知识点一 1.相切 2.内切圆 内心 3.平分线 角平分线 知识点二 学法指导:1 1 无数 无数 对点自测 1.B 2.C 3.140 【合作探究】 任务驱动一 1.解:设内心为O,连接AO,BO,CO. ∵三角形的内切圆半径为r, S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC, ∴S△ABC=AB·r+BC·r+AC·r =r(AB+BC+AC)=lr. 任务驱动二 2.解:如图,设内切圆分别与AC,BC,AB相切于点D,E,F,连接OD,OE, 则OD⊥AC,OE⊥BC, 又∠C=90°,OD=OE, ∴四边形ODCE为正方形, ∴CE=CD=r, ∴AD=AF=b-r,BE=BF=a-r,∴b-r+a-r=c, ∴r=(a+b-c). 任务驱动三 3.证明:如图,连接OE. ∵AB,AC是☉P的切线, ∴AE平分∠BAC, ∴=, ∴OE⊥BC. ∵FG切☉O于点E, ∴OE⊥FG,∴BC∥FG. 素养小测 1.D 2.4 ... ...
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