24.6.1 正多边形与圆 素养目标 1.知道正多边形的概念,知道正多边形有唯一的内切圆与外接圆. 2.会用量角器与尺规等分圆周,作出正多边形. ◎重点:正多边形的内切圆与外接圆. 【预习导学】 知识点一：正多边形的相关概念 阅读课本本课时相关的内容,回答下列问题: 1.各边 ,各角也 的多边形叫作 . 2.观察“图24-56”,正五边形ABCDE的外接圆圆心,到正五边形的各个顶点的距离 ,这个距离就是外接圆的 . 3.观察“图24-56”,正五边形PQRST的内切圆圆心,到其各条边的距离 ,这个距离就是内切圆的 . 归纳总结 证明一个多边形是正n边形的思路:弧相等 多边形是正多边形. 4.思考:各边相等的圆外切多边形是正多边形吗 各角相等的圆内接多边形是正多边形吗 如果不是,举出反例. 知识点二：正多边形的画法 阅读课本本课时相关的内容,思考下列问题. 1.通过上面的学习,我们知道可通过 的方法作出正多边形. 2.通过等分圆心角等分圆周: (1)我们知道圆周的圆心角为360°,进行n等分,则每个圆心角为 .可以借助 将圆心角等分. (2)用尺规作☉O两条互相垂直的直径可得正 ,还可继续等分,得正八边形,正十六边形;截取圆的半径长将圆等分,可作正 ,正 . 归纳总结 把一个圆的圆周分成n(n≥3,n为整数)等份: (1)依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形; (2)经过各分点作圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形. 1.如图,螺母的外围可以看作是正六边形ABCDEF,已知这个正六边形的半径是2,则它的周长是( ) A.6 B.12 C.12 D.24 2.如图,五边形ABCDE是☉O的内接正五边形,则∠COD的度数是 . 3.如图,正方形ABCD和正六边形AEFCGH均内接于☉O,连接HD.若线段HD恰好是☉O的一个内接正n边形的一条边,则n= . 【合作探究】 任务驱动一 正多边形的证明 1.如图,△ABC是☉O的内接等腰三角形,顶角∠BAC=36°,弦BD,CE分别平分∠ABC,∠ACB,求证:五边形AEBCD是正五边形. 方法归纳交流 要判定一个多边形是不是正多边形,应从多边形的边与角两方面来证明. 任务驱动二 正多边形与圆的相关计算和证明 2.如图1,2,3,…,m,M,N分别是☉O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDE…的边AB,BC上的点,且BM=CN,连接OM,ON. (1)求图1中∠MON的度数. (2)图2中∠MON的度数是 ,图3中∠MON的度数是 . (3)试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系(直接写出答案). 方法归纳交流 正多边形的相关计算,一是要联系前面学过的圆的相关性质定理,二是可把很多的问题进行转化,如转化为等腰三角形、直角三角形等进行解决. 1.如图,ABCDEF是中心为原点O,顶点A,D在x轴上,半径为4的正六边形,则顶点F的坐标为 ( ) A.(2,2) B.(-2,2) C.(-2,2) D.(-1,) 2.如图,A,B,C,D为某一正多边形的相邻四个顶点,O为正多边形的中心,若∠ADB=12°,则这个正多边形的边数为 . 3.如图,点O是正六边形ABCDEF的对称中心,G,H分别是AF,BC上的点,且AG=BH. (1)求∠FAB的度数. (2)求证:OG=OH. 参考答案 【预习导学】 知识点一 1.相等 相等 正多边形 2.相等 半径 3.相等 半径 归纳总结 弦 圆周角 各边 各角 4.都不是.如:圆外切菱形,圆内接矩形. 知识点二 1.等分圆周 2.(1) 量角器 (2)四边形 三角形 六边形 对点自测 1.C 2.72° 3.12 【合作探究】 任务驱动一 1.证明:∵△ABC是等腰三角形,∠BAC=36°,∴∠ABC=∠ACB=72°. 又∵BD,CE分别平分∠ABC,∠ACB,∴∠ABD=∠DBC=∠ACE=∠BCE=36°=∠BAC,∴====,∴BC=CD=AD=AE=BE. 又∵∠ACD=∠ABD=36°,∴∠BCD=108°, 同理可证∠EBC=∠AEB=∠DAE=∠ADC=108°, 故五边形AEBCD是正五边形. 任务驱动二 2.解:(1)如图,连接OB,OC.∵等边△ABC内接于☉O, ∴∠ ... ...
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