石家庄市第一中学 2026 届高三年级统一摸底考试 数学答案 1.A 2.B 3.C 4.A 5.B 6.C 7.B 8.C 9.BC 10.ABD 11.ABD 12．3 13． 14． ； . 15．(1)设等差数列{an}的公差为 d(d≠0), 由 2an+1=λan+4(n∈N*),① 得 2an=λan-1+4(n∈N*,n≥2),② ①-②得,2d=λd. 又因为 d≠0,所以λ=2. 将λ=2 代入①, 可得 an+1-an=2,即 d=2. 又因为 a1=1,所以 an=1+(n-1)×2=2n-1. (2)由(1)可得 =2(2n-n)-1=2n+1-(2n+1), 所以 Sn=(22+23+…+2n+1)-[3+5+…+(2n+1)]= - =2n+2-n2-2n-4. 16．(1)由正弦定理得 sin∠BACtan∠BAC＝sin Bcos∠ACB＋sin∠ACBcos B＝sin(B＋∠ACB)， 因为 B＋∠ACB＝π－∠BAC， 所以 sin(B＋∠ACB)＝sin(π－∠BAC)＝sin∠BAC，且 sin∠BAC≠0， 所以 tan∠BAC＝ . 因为∠BAC∈(0，π)，所以∠BAC＝ . 在△ABC 中， ＝ ＝ ，化简可得 ＝ . (2)设 AB＝2x，则 AM＝3x.在△ABM 中，由余弦定理得 AB2＋AM2－2AB·AMcos∠BAM＝BM2，即 4x2＋ 9x2－12x2· ＝64，解得 x2＝ ， 所以 S△ABM＝ ·2x·3x· ＝ × ＝ . 17．（1） 在题图①中， ， ，所以 ， ， 因为 为 的中点， ，所以 ， . 因为 ，所以点 在题图①中 的中点位置，所以 ， 在题图②中，因为 平面 ， 平面 ， 所以 平面 ， 因为 平面 ，平面 平面 ，所以 . （2） 在题图②中，因为 ， ， ， ， 平面 ， 所以 平面 ， 又 平面 ，所以平面 平面 ， 第 1 页，共 4 页 因为平面 平面 ， ， 平面 ,所以 平面 . 由（1）知 ，即 ，又 ，所以 ， 过点 在平面 内作 ， 以 为坐标原点， , , 所在直线分别为 , , 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则 ， ， ， ， 所以 ， ， . 设平面 的法向量为 ，则 令 ，解得 ， 所以 . 设平面 的法向量为 ，则 令 ，解得 ，所以 , , ， 所以 , ，所以 , ， 所以二面角 的正弦值为 . 18．（1）由题得， ， 令 ， 则函数 有两个极值点，即方程 有两个正实数根. 因为 ， 所以当 时， ， 单调递减， 当 时， ， 单调递增， 所以， ， 且当 时， ， 时， . 所以方程 有两个正实数根， 只需 ，解得 ， 即函数 有两个极值点时， 的范围为 . （2）由 且 ，令 ，则 ， 第 2 页，共 4 页 由（1）知， ， 即 ， 则 ， 即 ，解得 ， 所以 . 则 ， 令 ， 则 ， 令 ， 则 所以函数 在 上单调递增， 又 ，所以 ， 则 . 当 时， ， 所以 在 上单调递增， 则当 时， . 即 的最大值为 . 19．（1）设 ， ， ，故 ， 点 在椭圆 上，则 ， ，故得 ，即 解得 ，故椭圆 的方程为 ． （2）由（1）知， ， ，若直线 的斜率不存在， 则 ，代入椭圆方程可得 ，故 ， 此时 ,故直线有斜率， 第 3 页，共 4 页 直线 的斜率为 ，则 的方程为 ， 由 ,消去 得 ，① 显然 ，设 , ， , ，则 ， 于是， , 化简可得 ，即 ，解得 ， 所以直线的方程为 . （3）由于椭圆 上一点 ， 的切线方程为 ． 依题意，设椭圆上的点 , ，则过点 , 的切线方程为 ， 即 ，原点到切线的距离为 ． 由两点间距离公式可得 ， 同理, ，则 ， 故 为定值． 第 4 页，共 4 页石家庄市第一中学 2026 届高三年级统一摸底考试 数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡 上指定位置，在其他位置作答一律无效。 3．本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1．集合 的实部为 0}， ， ，i 为 虚数单位，则 为（ ） A． B． C． D． 2．设 i 为虚数单位，复数 ... ...
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