3.2.2 双曲线的几何性质 课件（18页）

3.2.2 双曲线的几何性质 1.理解并掌握双曲线的几何性质. 2.能利用双曲线的简单性质求标准方程、离心率. 回顾：研究椭圆的几何性质时，涉及到哪些方面？ 范围，对称性，顶点，离心率等 回想：我们是怎样研究上述性质的？双曲线是否具有类似的性质呢？ 1.范围: 2.顶点: 双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点. 线段A1A2叫实轴，长为2a，a叫实半轴长. 线段B1B2叫虚轴，长为2b，b叫虚半轴长. 思考：a，b，c的几何意义？ 实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线. 注意点 方程为x2－y2＝m(m≠0) x y o a b 4.渐近线: 关于x轴、y轴、原点对称. 3.对称性: ①有助于画双曲线； ②与双曲线无限接近，但永不相交. ③求法(适用于任意双曲线)： 5.离心率 (c>a>0) e >1 e越大，双曲线开口越大. (1)定义： (2)范围： (3)变形： (4)e的含义： 椭圆：e越大，椭圆越扁 {5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A} 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 方程 范围 顶点 离心率 渐近线 A1(0，-a)，A2(0，a) A1(- a，0)， A2(a，0) 归纳总结 问题1：椭圆的离心率反映了椭圆的扁圆程度.那么，双曲线的离心率与开口大小有关系吗?怎样反映这种关系? 因为 ????????=????2?????2????=????2????2?1=????2?1 ，所以 ???? 越大， ???????? 也越大， 即渐近线 ????=±???????????? 的斜率的绝对值越大，这时双曲线的开口就越大， 因此离心率 ???? 可以用来表示双曲线开口的大小. ? 问题2：渐近线相同的双曲线是同一条双曲线吗? 渐近线相同的双曲线有无数条，不一定是同一条双曲线，但它们实轴长与虚轴长的比值相同. 问题3：实轴长与虚轴长相等的双曲线的离心率和渐近线分别是什么？ 离心率为e＝2，渐近线方程为y＝±x. ? 例1 求双曲线x2－3y2＋12＝0的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、渐近线方程、离心率. 归纳总结 由双曲线的标准方程求几何性质的一般步骤 例2 求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为53. (2)与双曲线????24?????23=1有共同的渐近线，且经过点M(3，-2). ? 解：(1)由题意设所求双曲线的标准方程为????2????2?????2????2=1(????>0，????>0)， 且2b=8，e=????????=53, 从而b=4，c=53a，又c2＝a2+b2，得a2＝9， ? 故所求双曲线的标准方程为????29?????216=1. ? (2)由题意设所求双曲线的标准方程为????24?????23=λ(λ≠0)， ∵点M(3，-2)在双曲线上，∴44?93=λ，即λ=-2， ∴双曲线的标准方程为????26?????28=1. ? (2)与双曲线????24?????23=1有共同的渐近线，且经过点M(3，-2). ? 归纳总结 (1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式. (2)与双曲线????2????2?????2????2=1具有相同渐近线的双曲线方程可设为????2????2?????2????2=λ(λ≠0). ? 由双曲线的性质求双曲线的标准方程 例3 已知双曲线C的顶点为A1，A2，虚轴的一个端点为B，且△BA1A2是一个等边三角形，求双曲线C的离心率. 解：设O为坐标原点，则A1A2的中点为O，且|OA1|=a，|BO|=b. 由△BA1A2是等边三角形可知|BO|=3|OA1|，因此 ? ∴c=2a，从而e＝????????＝2. ? 又∵c2=a2+b2=a2+(3a)2=4a2， ? 1.双曲线????29?????216＝1的左焦点与右顶点之间的距离等于( ) A.6 B.8 C.9 D.10 2.实轴长为2，虚轴长为4的双曲线的标准方程是(　　) A.x2－????24＝1 B.y2－????24＝1 C.????24?????216＝1或????24?????216＝1 D.x2－????24＝1或y2－????24＝1 ? B D 3.已知双曲线????2????2－y2＝1(a>0)的离心率是5，则a＝(　　) A.6 B.4 C.2 D.12 4.已知双曲线C：????2????2?????2????2＝1的焦距为10，点P(2，1)在C的渐近线上，则C 的方程为(　　) A.???? ... ...