3.3.1 抛物线的标准方程 课件（22页）

3.3.1 抛物线的标准方程 1.理解抛物线的定义及其焦点、准线的概念. 2.掌握抛物线的标准方程. 3.能根据已知条件求出抛物线方程. 数学家华罗庚曾经说过：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生活之谜，日月之繁，无处不用数学”，比如足球射门时那条美丽的弧线，天空中那一道道美丽的彩虹，广场上那五彩斑斓的喷泉，运动场上那些跳跃运动，哪怕是一个小朋友轻轻投掷一块石子，都会产生一道与众不同的弧线. 动手操作：如图，先将一把直尺固定在画板上，再把一个直角三角板的一条直角边紧靠在直尺的边缘(记作直线l)，然后取一根细绳，它的长度与另一条直角边AB相等，细绳的一端固定在三角板顶点A处，另一端固定在画板上的点F处.用铅笔尖(记作点P)扣紧绳子，并靠住三角板，然后将三角板沿着直尺上下滑动，可以发现铅笔尖就在画板上描出了一段曲线，即点P的轨迹. 问题1：曲线上点P到直线l的距离是什么? 问题2：曲线上点P到定点F的距离是什么? 问题3：曲线上的点到直线l和定点F之间的距离有何关系? 线段BP的长 线段PF的长 相等 平面上到一个定点F与到一条直线l (l不过点F)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线. l F M H 焦点 准线 定点F称为抛物线的焦点， 定直线l称为抛物线的准线. 概念生成 距离相等 抛物线的定义实质可以归结为“一动三定”: “一动”：一个动点，设为M; “三定”：一个定点F———焦点， 一条定直线l———准线; 一个定值，即点M与点F的距离和它到直线l的距离之比等于1，为离心率. l F H M 讨论：(1)定义中为什么加上条件“l不经过F”? (2)抛物线的图形是双曲线的一支吗? (1)若点F在直线l上，满足条件的动点P的轨迹是过点F且垂直于l的直线，而不是抛物线. (2)不是. 当抛物线上的点趋向于无穷远时，图像的切线接近于和x轴平行； 而双曲线上的点趋向于无穷远时，图像的切线接近于与渐近线平行，抛物线没有渐近线； 从方程上看，抛物线的方程与双曲线的方程有很大差别. 思考：求抛物线方程时该如何建立适当的坐标系？ l 过抛物线的焦点 F 作准线 l 的垂线，记垂足为 K ， 如图，以直线 KF 为 x 轴，线段 KF 的垂直平分线为 y 轴建立平面直角坐标系. l F M H K O y x 设 |KF|=p(p>0)， 则抛物线的焦点为 ，准线为 设点M的坐标为(x，y)，点M到准线l的距离为d， l F M H K O y x 因为 所以 将上式两边平方并化简，得 ① 叫做抛物线的标准方程. l F M H K O y x 它表示焦点在x轴正半轴上，焦点是 准线是 的抛物线. p表示焦点到准线的距离. 讨论1：如果建立的平面直角坐标系分别如图(1)(2)(3)所示，其他条件不变，下列抛物线的焦点坐标和准线方程分别是什么？ 焦点F： 准线l： 讨论2：如何通过方程y2=2px(p>0)①得到下列抛物线的标准方程？ l F M K O y x 通常称②为焦点在 x 轴负半轴上的抛物线的标准方程 . 将①中的x变为-x 即可得到抛物线(1)的方程为 ② y2=2px(p>0)① l F M K O y x 通常称③为焦点在 y 轴正半轴上的抛物线的标准方程. 将①中的 x 与 y 互换即可得到抛物线(2)的方程为 ③ 通常称④为焦点在 y 轴负半轴上的抛物线的标准方程. 将①中的 x 变为 - y 且 y 变为 - x即可得到抛物线(3)的方程为 ④ 归纳总结 {5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}图象 标准方程 焦点坐标 准线方程 开口方向 向右 向左 向上 向下 例1 分别根据下列条件，求抛物线的标准方程和准线方程： (1)焦点在x轴负半轴上，焦点到准线的距离是5. (2)抛物线的焦点是F(?3，0). (3)焦点在直线x+3y+15＝0上. 解： (1)由题意知抛物线的标准方程具有y2＝-2px的形式，且 p＝5， 因此所求标准方程为y2＝-10x，准线方程为x＝52. (2)∵抛物线焦点为 F(?3，0)，∴其标准方程可设为y2＝-2px，且????2＝3， ∴p＝6，因此所求标准方程为 ... ...