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课件网) 2.1.2 圆的一般方程 1.掌握圆的一般方程及其特点. 2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的坐标和半径的大小. 3.能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程. 问题：方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0，x2＋y2－2x＋4y＋5＝0，x2＋y2－2x＋4y＋6＝0分别表示什么图形？ x2＋y2－2x＋4y＋1＝0配方得(x－1)2＋(y＋2)2＝4，表示以(1，－2)为圆心，2为半径的圆； x2＋y2－2x＋4y＋5＝0配方得(x－1)2＋(y＋2)2＝0，表示点(1，－2)； x2＋y2－2x＋4y＋6＝0配方得(x－1)2＋(y＋2)2＝－1，不表示任何图形. 思考：如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0能表示圆的方程，有什么条件？ 思考：如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0能表示圆的方程，有什么条件？ 方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0配方得
， 只有当D2+E2-4F >0时, 方程才表示以(-，-)为圆心， 以为半径的圆. 条件 图形 D2＋E2－4F<0 D2＋E2－4F＝0 D2＋E2－4F>0 方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形 不表示任何图形 点(-，-) 表示以(-，-)为圆心，以为半径的圆 归纳总结 知识归纳 x2+y2+Dx+Ey+F＝0 (D2+E2-4F>0) 圆的一般方程: 对于二元二次方程Ax2+Cxy+By2+Dx+Ey+F＝0而言，圆的一般方程突出了二元二次方程表示圆时，其在代数结构上的典型特征： 1.x2与y2系数相同并且不等于0，即A=B≠0； 2.没有xy这样的二次项，即C=0. 具备上述两个特征是一般二元二次方程表示圆的必要条件，但不是充分条件. 圆的标准方程与一般方程的特点 圆的标准方程 圆的一般方程 方程 (x－a)2 + (y－b)2 = r2 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 (D2 + E2 – 4F > 0) 圆心 半径长 特点 ① 易于看出圆心与半径； ② 方程几何特征明显； ① 特殊的二元二次方程； ② 方程代数特征明显. (a，b) (，) r x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 例1 下列各方程是否表示圆 若表示圆，求其圆心和半径. (1)x2+y2+2xy=0; (2)x2+y2-4x=0; (3)2x2+2y2-3x+4y+6=0; (4)x2+y2+2ax=0(a∈R). 解:(1)∵方程x2+y2+2xy=0中含有xy这样的项，∴不能表示圆. (2)由方程可知D=-4，E=F=0， ∵D2+E2-4F=D2=16>0，∴方程表示圆. ∵-=2，-=0，∴圆心为(2，0)，半径r==2. 例1 下列各方程是否表示圆 若表示圆，求其圆心和半径. (3)2x2+2y2-3x+4y+6=0; (4)x2+y2+2ax=0(a∈R). (3)原方程可化为x2+y2-x+2y+3=0，易知D=-，E=2，F=3， ∵D2+E2-4F=+4-12<0，∴方程不表示任何图形. (4)∵D2+E2-4F=4a2+02-4×0=4a2， ∴当a≠0时，该方程表示的是以(-a，0)为圆心，半径r=|a|的圆; 当a=0时，原方程为x2+y2=0，此时该方程表示点(0，0). 例2 已知Rt△ABC的顶点A(8，5)，直角顶点为B(3，8)，顶点C在y轴上，求：(1)顶点C的坐标； (2)Rt△ABC外接圆的一般方程． 解：(1)设点C(0，m)， 由题意有kAB·kBC=-1，且kAB=，∴kBC=， 解得m＝3， ∴点C的坐标为(0，3). 例2 已知Rt△ABC的顶点A(8，5)，直角顶点为B(3，8)，顶点C在y轴上，求： (2)Rt△ABC外接圆的一般方程． (2)设△ABC外接圆的一般方程为x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0， 由题意有 解得， ∴△ABC外接圆的一般方程为x2 + y2 -8x -8y + 15 = 0. 有其他解法吗？ 例2 已知Rt△ABC的顶点A(8，5)，直角顶点为B(3，8)，顶点C在y轴上，求： (2)Rt△ABC外接圆的一般方程． 解法2：∵Rt△ABC的斜边AC的中点为圆心，边AC为直径，∴圆心坐标为(4，4)，半径为r=， ∴所求方程为(x－4)2＋(y－4)2＝17， 即x2 + y2 -8x -8y + 15 = 0. 归纳总结 待定系数法求圆的方程 (1)根据题意，选择标准方程或一般方程； (2)根据条件列出关于 a，b，r 或 D，E，F 的方程组； (3)解出 a，b，r 或 D，E，F 得到标准方程或一般方程. 注意： ① 若知道或涉及圆心和半径，一般采用圆的标 ... ... 
