3.1.1 椭圆的标准方程 课件（21页） 2025-2026学年苏教版（2019）高中数学选择性必修第一册

(课件网) 3.1.1 椭圆的标准方程 第3章 1.理解并掌握椭圆的定义. 2.掌握椭圆的标准方程的推导. 3.会求简单的椭圆的标准方程. 4.会判断直线与椭圆的位置关系. 用一个平面去截圆锥，当平面经过圆锥的顶点时，可得到两条相交直线；当平面与圆锥的轴垂直时，截线（平面与圆锥面的交线）是一个圆． 当改变平面与圆锥轴的夹角时，观察截线的变化情况，并思考： 用平面截圆锥还能得到哪些曲线？这些曲线具有哪些几何特征？ 椭圆 双曲线 抛物线 取一条定长的细绳，把细绳两端拉开一段距离，分别固定在图板上的两点F1、F2处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是什么图形？ 问题1：移动的笔尖始终满足怎样的几何条件？ 笔尖到两定点的距离之和等于绳长. 平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2 |)的点的轨迹叫椭圆. 这两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点. 两焦点之间的距离叫做焦距，焦距的一半称为半焦距. 记为2a 记为2c 椭圆的定义 若|PF1|+|PF2|＝|F1F2|，则P的轨迹是 . 若|PF1|+|PF2|＜|F1F2|，则P的轨迹是 . (2)符号语言：椭圆上任一点P满足|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|). 线段F1F2 不存在 问题：设椭圆C的两个焦点分别为F1，F2，它们之间的距离为2c，椭圆上任意一点到F1，F2的距离之和为2a(2a＞2c).怎样求椭圆C的方程？ 以F1，F2所在的直线为x轴、线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy，如图，则F1，F2的坐标分别为(－c，0)，(c，0). 设P(x，y)为椭圆上任意一点，根据椭圆的定义知PF1＋PF2＝2a， 将这个方程移项后两边平方，得 两边再平方，得a4－2a2cx＋c2x2＝a2x2－2a2cx＋a2c2＋a2y2， 整理得(a2－c2)x2＋a2y2＝a2(a2－c2). 因为a2－c2>0，所以可设a2－c2＝b2(b>0)， 由上述过程可知，椭圆上的点的坐标(x，y)都满足上面这个方程，可以证明以上面这个方程的解为坐标的点(x，y)都在已知的椭圆上. 讨论：若焦点F1、F2 在y轴上，且F1(0，-c)，F2 (0，c)，a，b的意义同上，则椭圆的方程是什么？ 焦点在x轴上： F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，-c)，F2 (0，c) x，y交换位置 椭圆的标准方程 焦点位置 在x轴上 在y轴上 标准方程 _____ _____ 图形 焦点坐标 (±c，0) (0，±c) a，b，c的关系 a2＝_____ b2＋c2 例1 已知椭圆的两个焦点分别是F1(-3，0)，F2(3，0)，椭圆上一点P到两个焦点的距离之和为10，求椭圆的标准方程. 解：∵椭圆的焦点在x轴上，∴设椭圆的标准方程为(a＞b＞0)， 由已知得2a＝10，即a＝5， 又∵椭圆的两个焦点为F1(-3，0)，F2(3，0)，∴c＝3， 从而b2＝a2－c2＝16， 因此所求椭圆的标准方程为. 归纳总结 用定义法求椭圆的标准方程，先根据椭圆定义，确定a2，b2的值，再结合焦点位置写出椭圆的标准方程. 例2 已知椭圆的两个焦点分别是(-2，0)，(2，0)，且该椭圆经过点(2，-2)，求椭圆的标准方程. 解法1 ∵椭圆的焦点在x轴上，∴设椭圆的标准方程为(a＞b＞0)， ∵椭圆的焦点坐标分别为(-2，0)，(2，0)，且点(2，-2)在椭圆上， ∴2a＝＝8， ∴a＝4， 又∵c＝，∴b2＝a2－c2＝8， 因此所求椭圆的标准方程为. 例2 已知椭圆的两个焦点分别是(-2，0)，(2，0)，且该椭圆经过点(2，-2)，求椭圆的标准方程. 解法2 ∵椭圆的焦点在x轴上，∴设椭圆的标准方程为(a＞b＞0)， ∵椭圆的焦点坐标分别为(-2，0)，(2，0)，∴c＝2，① ∵点(，-2)在椭圆上，∴，② 由①②解得a2＝16，b2＝8， 因此所求椭圆的标准方程为. 归纳总结 利用待定系数法求椭圆的标准方程的步骤： (1)先确定焦点位置； (2)设出方程； (3)寻求a，b，c的等量关系； (4)求a，b的值，代入所设方程. 提醒：若椭圆的焦点位置不确定，需要讨论焦点在x轴上和在y轴上的两种情况. 例3 ... ...