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课件网) 3.1.2 课时1 椭圆的几何性质 第3章 1.掌握椭圆的几何性质，了解椭圆标准方程中a，b，c的几何意义. 2.会利用椭圆的几何性质求其标准方程. 椭圆的标准方程： 焦点在x轴时： 焦点在y轴时： 阅读课本，回答问题： 问题1：椭圆的范围是指椭圆的标准方程 中x，y的范围，可以用哪些方法推导？ 问题2：借助椭圆的图形容易发现椭圆的对称性，能否借助标准方程用代数方法推导？ 问题3：椭圆的顶点是最左或最右边的点吗？ 问题4：取一条一定长的细绳，把它的两端固定在画板的F1和F2两点，当绳长大于F1和F2的距离时，用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆．若细绳的长度固定不变，将焦距分别增大和缩小，想象椭圆的“扁”的程度的变化规律． 问题5：在椭圆标准方程的推导过程中令b2＝a2－c2能使方程简单整齐，其几何意义是什么？ x y 椭圆位于直线x=±a和y=±b围成的矩形框内. 1.范围： 2.对称性： 关于x轴、y轴、原点对称 此时称原点是椭圆的中心. x y 3.顶点： 椭圆与对称轴(x，y轴)的交点 线段A1A2叫椭圆的长轴，长度为2a； 线段B1B2叫椭圆的短轴，长度为2b. a，b分别叫椭圆的长半轴长和短半轴长. a为椭圆的长半轴长，b为椭圆的短半轴长.它们反映了参数a，b的几何意义. F1 F2 x O y A1 A2 B1 B2 由于b2=a2-c2，a，b，c就是图中Rt△OB2F2的三边长，它们从另一个角度反映了参数a，b，c的几何意义. 保持长半轴长a不变,改变椭圆的半焦距c,可以发现,c越接近a,椭圆越扁平. x y O 类似地,保持c不变,改变a的大小,则a越接近c,椭圆越扁平;而当a,c扩大或缩小相同倍数时,椭圆的形状不变. 4.离心率： 椭圆的焦距与长轴长的比 称为椭圆的离心率. 用e表示，即 因为a＞c＞0，所以0＜e＜1. 当且仅当a=b时，c=0,这时两个焦点重合，图形变为圆. e 越接近 1，c 就越接近 a， 此时椭圆就越扁. e 越接近 0，c 就越接近 0， 此时椭圆就越圆. x y O 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 范围 _____ _____ －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a 顶点 _____ _____ _____ _____ 轴长 短轴长等于____，长轴长等于____ 焦点 焦距 对称性 对称轴：_____，对称中心：_____ A1(－a，0)，A2(a，0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b，0)，B2(b，0) 2b 2a x轴、y轴 原点 例1 求椭圆＝1的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标，并用描点法画出这个椭圆. 分析：由椭圆的标准方程＝1知a＝5，b＝3，则椭圆位于四条直线x＝±5，y＝±3所围成的矩形内， 又椭圆以两坐标轴为对称轴，所以只要画出在第一象限内的图形就可画出整个椭圆. 例1 求椭圆＝1的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标，并用描点法画出这个椭圆. 解：由椭圆的标准方程＝1知a＝5，b＝3，c＝＝4， ∴椭圆的长轴长2a＝10，短轴长2b＝6，离心率e＝＝， 焦点为F1(-4，0)，F2(4，0)，顶点为A1(-5，0)，A2(5，0)，B1(0，-3)，B2(0，3)， 将方程变形为， 根据方程可算出椭圆在第一象限内的几个点的坐标： 先描点画出在第一象限内的图形，再利用椭圆的对称性画出整个椭圆. 例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)长轴长是10，离心率是； (2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6； (3)椭圆过点，离心率． 解：(1)设椭圆的标准方程为＝1(a>b>0)或＝1(a>b>0)， 由已知得2a＝10，故a＝5. ∵e＝＝，∴c＝4，∴b2＝a2－c2＝25－16＝9. ∴椭圆的标准方程为＝1或＝1. (2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6； (3)椭圆过点，离心率． (2)依题意可设椭圆的标准方程为＝1(a>b>0)． 如图所示，△A1FA2为一等腰 ... ...
