(
课件网) 3.2.1 课时1 双曲线的标准方程 第3章 1.了解双曲线的定义. 2.掌握双曲线的标准方程及其求法. 生活中常见双曲线的存在，那什么是双曲线呢？ 实验准备：一个拉链，两个图钉，一个木板. (1)取一条拉链，拉开一部分； (2)在拉开的两边各选择一点，分别固定在点F1，F2上； (3)把笔尖放在M处，随着拉链的拉开或闭拢，画出一条曲线. 试观察这是一条什么样的曲线？点M在运动过程中满足什么几何条件？ 双曲线. 曲线上的点满足条件：||MF1|－|MF2||＝常数，且常数小于|F1F2|. 双曲线的定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数 (大于零且小于︱F1F2︱)的点的集合轨迹叫作双曲线. F1 F2 焦距 焦点 M ① 两个定点F1、F2———双曲线的焦点; ②两个焦点间的距离 |F1F2| ———焦距，记为2c. 符号语言：若(2＜||)，则点M的轨迹为双曲线.,，， 在上述过程中，我们在其中的一段拉链上截取一段小于F1F2的长度，如果截取的长度等于F1F2的长度，其轨迹还是上述图形吗？若截取的长度小于F1F2的长度呢？ 若2a＝|F1F2|，则点M的轨迹是分别以F1，F2为端点的两条射线； 若2a>|F1F2|，则点M的轨迹不存在； 若常数a为0，则点M的轨迹是线段F1F2的垂直平分线. 例1 已知A(0，－5)，B(0，5)，|PA|－|PB|＝2a，当a＝3或5时，P点的轨迹为( ) A.双曲线或一条直线 B.双曲线或两条直线 C.双曲线一支或一条直线 D.双曲线一支或一条射线 D 分析：当a＝3时，2a＝6，此时|AB|＝10， ∴点P的轨迹为双曲线的一支(靠近点B). 当a＝5时，2a＝10，此时|AB|＝10， ∴点P的轨迹为射线，且是以B为端点的一条射线. 提醒 (1)常数要小于两个定点的距离. (2)如果没有绝对值，点的轨迹表示双曲线的一支. (3)当2a＝|F1F2|时，动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条方向相反的射线(包括端点). (4)当2a>|F1F2|时，动点的轨迹不存在. (5)当2a＝0时，动点的轨迹为线段F1F2的垂直平分线. 问题1：类比求椭圆标准方程的过程，如何建立适当的坐标系，求出双曲线的标准方程？ 观察我们画出的双曲线，发现它也具有对称性，而且直线F1F2是它的一条对称轴，所以以F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系Oxy， 此时双曲线的焦点分别为F1(－c，0)，F2 (c，0)，焦距为2c，c>0. 设P(x，y)是双曲线上一点，则||PF1|－|PF2||＝2a(a为大于0的常数)， ∴
， 类比椭圆标准方程的化简过程，移项、平方 得
， 即
. 由双曲线的定义知，2c>2a，即c>a，所以c2－a2>0， 类比椭圆标准方程的建立过程，令b2＝c2－a2，其中b>0， 代入上式，得
. 问题2：设双曲线的焦点为 F1和F2，焦距为2c，而且双曲线上的动点P满足||PF1|－|PF2||＝2a，其中c>a>0 ，以F1，F2所在直线为y轴，线段F1F2的垂直平分线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示，此时，双曲线的标准方程是什么？ 归纳总结 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 图形 焦点坐标 a，b，c的关系 ＝1(a>0，b>0) ＝1(a>0，b>0) F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) c2=a2+b2 哪个系数为正，焦点就在哪个轴上，a就跟谁. 例2 已知双曲线的两个焦点分别为F1(-5，0)，F2(5，0)，双曲线的一点P到F1，F2的距离的差的绝对值等于8，求双曲线的标准方程. 解：由题意可设双曲线的标准方程为1()， ∵2a＝8，c＝5，∴a＝4， ∴b2＝c2－a2＝9， 故所求双曲线的标准方程为. 例3 求适合下列条件的双曲线的标准方程. (1)a＝3，b＝4，焦点在x轴上. (2)a＝2，经过点A(2，-5)，焦点在y轴上. 解：(1)依题意a＝3，b＝4，焦点在x轴上， ∴双曲线的标准方程为. 定义法 (2)a＝2，经过点A(2，-5)，焦点在y轴上. (2)∵焦点在y轴上， ∴可 ... ... 