1.2.3 直线的一般式方程 课件（15页） 2025-2026学年苏教版（2019）高中数学选择性必修第一册

1.2.3 直线的一般式方程 1. 掌握直线方程的一般式，并会用它求直线的方程. 2. 会进行直线方程的五种形式之间的转化. 直线y＝2x＋1可以化成二元一次方程吗？方程2x－y＋3＝0表示一条直线吗？ y＝2x＋1可以化成2x－y＋1＝0的形式，可以化为二元一次方程. 2x－y＋3＝0可以化为y＝2x＋3，可以表示直线. 可以；x ? x0 = 0 可化为 x + 0·y ? x0 = 0； 问题1:当直线 l 过点 P0 (x0，y0) 且斜率不存在，即倾斜角 α = 90°时，直线 l 的方程为 x ? x0 = 0，此时直线方程可以看成关于 x，y 的二元一次方程吗？ 结论1:平面上任意一条直线都可以用一个关于 x，y 的二元一次方程表示； 形式： Ax + By + C = 0 ( A、B 不同时为 0 ). 问题2:每个关于 x，y 的二元一次方程 Ax + By + C = 0 (A、B 不同时为0) 都表示一条直线吗？ 结论2:每个关于 x，y 的二元一次方程 Ax + By + C = 0 (A、B 不全为0) 都表示一条直线． ① 当B ≠ 0 时： ② 当B = 0，A ≠ 0 时： 方程变形为 ，表示过点 (0， )，斜率为 的直线； 方程变形为 ，表示过点 ( ，0)，且垂直于 x 轴的直线. 01 直线的一般式方程 关于 x，y 的二元一次方程 Ax + By + C = 0 (A、B 不全为0)叫作直线方程的一般式. 注意：对于直线的一般式方程，规定： ① x 的系数为正； ② x，y 的系数及常数项一般不出现分数； ③ 按含 x 项，含 y 项、常数项顺序排列. 在求直线方程时，最后结果一般都化成一般式方程. 二元一次方程的系数和常数项对直线的位置的影响 (1)当A＝0，B≠0，C≠0时，方程表示的直线 ． (2)当A≠0，B＝0，C为任意实数时，方程表示的直线 ． (3)当A＝0，B≠0，C＝0时，方程表示的直线 ． (4)当A≠0，B＝0，C＝0时，方程表示的直线 ． (5)当C＝0，A，B不同时为0时，方程表示的直线 ． 与x轴平行 与x轴垂直 与x轴重合 与y轴重合 过原点 例1 求直线l：3x-2y+6=0的斜率以及它在x轴、y轴上的截距，并作图. 解：将直线l：3x-2y+6=0写成 因此，直线l的斜率k= ，它在y轴上的截距是3. 令y=0，可得x=-2，即直线l在x轴上的截距是-2. 所以直线l与x轴、y轴的交点分别为A(-2，0)，B(0，3)，过点A，B作直线，即可得直线l. O x y –2 –1 –3 1 1 3 –1 A 2 4 B 画一条直线时，只要画出这条直线上的两点就可以了，通常是找出直线与两坐标轴的交点. 例2 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程： (1)斜率是3，且经过点A(5，3)； (2)经过A(－1，5)，B(2，－1)两点； (3)在x轴、y轴上的截距分别为－3，－1； (4)经过点B(4，2)，且平行于x轴. ? 解：(1)由点斜式得直线方程为：y-3=3(x-5)，即3x-y-53+3=0. (2)由两点式得直线方程为：?????5?1?5=????+12+1，即2x+y-3=0. ? 例2 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程： (3)在x轴、y轴上的截距分别为－3，－1； (4)经过点B(4，2)，且平行于x轴. (3)由截距式得直线方程为：?????3+?????1=1，即x＋3y＋3＝0. (4)y－2＝0. ? 归纳总结 在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选出四种特殊形式之一求方程，然后转化为一般式.一般选用规律为： (1)已知直线的斜率和直线上某一点的坐标时，选用点斜式； (2)已知直线的斜率和在y轴上的截距时，选用斜截式； (3)已知直线上两点坐标时，选用两点式； (4)已知直线在x轴，y轴上的截距时，选用截距式． 例3 直线l的方程为2x+(k-3)y-2k+6＝0(k≠3)，分别根据下列条件确定k的值. (1)直线l的斜率为2； (2)直线l在x轴、y轴上的截距之和等于0. 解：(1)因为直线l的斜率存在，所以直线l的方程可化为y＝-2?????3x+2， 由题意得- 2?????3?＝2，解得k＝2. (2)由题易知直线l不过原点，所以直线l的方程可化为?????????3?+????2＝1， 由题意得k-3+2＝0，解得k＝1. ? 例4 一 ... ...