24.2解一元二次方程培优提升训练（含答案）冀教版2025—2026学年九年级数学上册

中小学教育资源及组卷应用平台 24.2解一元二次方程培优提升训练冀教版2025—2026学年九年级数学上册 一、选择题 1．一元二次方程的根的情况是（ ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．不确定 2．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ） A．化为 B．化为 C．化为 D．化为 3．关于的方程有实数根，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4．一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程的根，求这个三角形的周长等于（ ） A．11 B．14 C．10 D．11或14 5．已知，则的值是（ ） A． B．4 C．或4 D．3或 6．配方法是数学中非常重要的一种思想方法，这种方法常被用到代数式的变形中．定义：若一个整数能表示成（a，b为整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”．若（x，y是整数，k是常数），且为“完美数”，则k的值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 7．已知关于的一元二次方程的一个实数根为，则另一个实数根是（ ） A． B． C． D． 8．若一元二次方程的两根为，且，则的值为（ ） A． B． C． D． 二、填空题 9．设a，b是一个直角三角形的两条直角边的长，且，则这个直角三角形的斜边长为 ． 10．已知关于的方程的一个根是1，则 ． 11．若关于的方程有实数根，则的取值范围是 ． 12．已知是关于x的方程的根，则常数k的值为 ． 三、解答题 13．解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 14．已知关于x的方程． (1)试说明：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有一个根为3，求的值． 15．如果关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的3倍，那么称这样的方程是“3倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，则方程是“3倍根方程”． (1)通过计算，判断是否是“3倍根方程”． (2)若关于的方程是“3倍根方程”，求代数式的值． 16．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求c的取值范围； (2)选择一个你喜欢的c值代入，并求此时方程的解． 17．方程有实数根 (1)求k的取值范围； (2)若k是该方程的一个根，求的值． 18．定义：我们把关于的一元二次方程与称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是 (1)写出一元二次方程的“友好方程”：_____； (2)已知一元二次方程的两根为，它的“友好方程”的两根为_____．根据以上结论，猜想的两根与其“友好方程”的两根之间存在的一种特殊关系为_____，请证明你的结论； (3)已知关于的方程的两根是．请利用（2）中的结论，直接写出关于的方程的两根． 参考答案 一、选择题 1．B 2．D 3．B 4．B 5．C 6．C 7．B 8．A 二、填空题 9．2 10．或 11． 12．0或1 三、解答题 13．【解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，； （4）解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 14．【解】（1）解：， 无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：方程有一个根为3， ， 整理，得：， ． 15．【解】（1）解：∵， ∴解得． ∵， ∴是“3倍根方程”． （2）解：， 解得． ∵是“3倍根方程”， 分情况讨论： ①，则：； ②，则：． 16．【解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴； （2）解：当时，原方程为， 即， 解得：． 17．【解】（1）解：方程有实数根， ， 解得； （2）解：k是该方程的一个根， ，即， ． 18．【解】（1）解：根据题意可知的“友好方程”是：， 故答案为：； （2）解：， ， ， 解得； 根据以上结论，猜想的两根与其“友好方程”的两根之间存在的一种特殊关系为互为倒数； 故答案为：，互为倒数； 证明：解方程， 当时，． 解方程， 得， ∴ ． ... ...