5.1.2 含30°角的直角三角形的性质及应用 课件（(共19张PPT)）2025-2026学年湘教版八年级数学上册

(课件网) 含30°角的直角三角形的性质及应用 湘教·数学八年级上册 5.1 直角三角形的性质定理 复习回顾 直角三角形 性质 判定 直角三角形两锐角互余 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 有一个角是直角的三角形是直角三角形. 有两个角互余的三角形是直角三角形. 三角形一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形. 推进新课 如图是某商店营业大厅电梯示意图.电梯AB的倾斜角为30°，大厅两层之间的高度BC为6 m.你能算出电梯AB的长度吗？ C B A 30° 在一个锐角为30°的直角三角板中，这个锐角所对直角边的长度与斜边的长度存在怎样的数量关系？ C B A 30° 小组活动： 1. 剪一剪、 量一量 折一折、 沿着锐角为30°的直角三角板剪出一个直角三角形，测量这个锐角所对直角边的长度与斜边的长度 2. 大胆假设并证明 C B A 30° AB ＝ ； BC ＝ . 度量AB、BC 的长度： 10 cm 5 cm 猜想 30°锐角所对的直角边等于斜边的一半. 在一个锐角为30°的直角三角板中，这个锐角所对直角边的长度与斜边的长度存在怎样的数量关系？ BC = AB . 如图，在Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，∠A = 30°，取斜边 AB 的中点 D，连接 CD. 于是△DBC 是等腰三角形. 因此∠B = 60°. 于是△BDC 是等边三角形. 中线法 A B C D 根据直角三角形的性质定理得， 由于∠ACB = 90°， ∠A = 30°， 可以运用轴对称知识证明结论成立吗？试一试. 30° 如图，过直角边 AC 作对称图形△ACD. AD=AB，BC=DC，∠CAD=∠BAC=30° 在 △ABD 中， ∵AB = AD， ∠BAD =∠CAD +∠BAC = 60°， 则△ABD 是等边三角形． ∴ BC = BD = AB．　　 轴对称 A B C 30° D 应用格式： 在Rt△ABC 中， ∵　∠C = 90°，∠A = 30°， ∴　BC = AB ．　 含30°角的直角三角形的性质： 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 30° 例2 在A岛周围20海里水域内有暗礁，一轮船由西向东航行到O处时，测得A岛在北偏东60°的方向，且与轮船相距 海里.如图所示，若该船继续保持由西向东的航向，会有触礁的危险吗？（已知 ≈1.732） 1海里=1852m D 分析题意 分析 如图，取轮船航向所在的直线为OB. 过点A 作AD ⊥ OB，垂足为D. AD 的长为 A 岛到轮船航道的最短距离， 若 AD 大于20 海里，则轮船由西向东航行不会有触礁的危险. 1海里=1852m 例2 在A岛周围20海里水域内有暗礁，一轮船由西向东航行到O处时，测得A岛在北偏东60°的方向，且与轮船相距 海里.如图所示，若该船继续保持由西向东的航向，会有触礁的危险吗？（已知 ≈1.732） 分析题意 解答 建立几何模型 如图是某商店营业大厅电梯示意图.电梯AB的倾斜角为30°，大厅两层之间的高度BC为6 m.你能算出电梯AB的长度吗？ 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 解：AB = 2BC = 2×6 = 12m. 随堂跟练 例3 如图，在Rt△ABC 中，∠BCA = 90°，若BC = AB . 求证：∠A = 30°. C B A D 解：如图，取线段 AB 的中点 D，连接 CD. 因为CD 是 Rt△ABC 斜边 AB 上的中线， 所以CD = AB = BD， 因为BC = AB，所以BC = BD = CD， 即△BDC 为等边三角形． 于是∠B = 60°. 因为∠A +∠B = 90°，所以∠A = 30°. 方法一 如图，延长 BC 到 F，使 CF = BC，连接 AF 所以 BF = AB， 因此 BF = AB =AF，即△ABF 是等边三角形. 所以∠B = 60°， 因此∠CAB=90°－∠B = 30°. 因为 ∠BCA = 90°，BC = CF， 所以 AC 垂直平分 BF，于是 AB = AF （线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等） 又 BC = AB，BC = CF = BF， 方法二 C B A F 含30°角的直角三角形的判定： 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条 ... ...