3.3.2 抛物线的简单几何性质 课件（共19张PPT） 2025-2026学年湘教版（2019）高中数学选择性必修第一册

3.3.2 抛物线的简单几何性质 第3章 1.掌握抛物线的几何性质. 2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题. {5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2＝2px(p>0) F(????2，0) ? x＝－????2 ? y2＝－2px(p>0) F?????2，0 ? x＝????2　 ? x2＝2py(p>0) F(0，????2) ? y＝－????2　 ? x2＝－2py(p>0) F(0，－????2) ? y＝????2 ? 类比椭圆、双曲线的几何性质，结合图象，说出抛物线y2=2px(p>0)的下列性质： (1)抛物线y2=2px(p>0)的范围是什么? (2)抛物线y2=2px(p>0)的对称轴是什么?是否存在对称中心? (3)抛物线的顶点有几个?顶点坐标是什么? (4)抛物线的离心率是抛物线上的点到焦点F的距离和它到准线的距离d的比，那是多少呢? x≥0，y∈R 对称轴为x轴，不存在对称中心 只有一个顶点，坐标为(0，0) e=1 {5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 范围 对称轴 顶点 离心率 y2＝2px(p>0) F(p2，0) ? x＝－p2 ? y2＝－2px(p>0) F?p2，0 ? x＝p2　 ? x2＝2py(p>0) F(0，p2) ? y＝－p2　 ? x2＝－2py(p>0) F(0，－p2) ? y＝p2 ? x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R x轴 x轴 y轴 y轴 (0，0) e=1 归纳总结 提醒 (1)只有焦点在坐标轴上，顶点在坐标原点的抛物线的方程才是标准方程； (2)抛物线与双曲线不同，抛物线没有渐近线； (3)抛物线只有一条对称轴、一个顶点、一个焦点、一条准线； (4)所有抛物线的离心率均为1. 火眼金睛：已知抛物线y2=8x，求出该抛物线的顶点坐标、焦点坐标、准线、对称轴、自变量x的范围. 顶点坐标(0，0) 焦点坐标(2，0) 准线x=-2 对称轴为直线x轴 自变量x的范围为[0，+∞) 例1 已知双曲线方程是????28?????29=1，求以双曲线的右顶点为焦点的抛物线的标准方程及抛物线的准线方程. ? 解：∵双曲线????28?????29=1的右顶点坐标为(22，0)， ∴????2＝22，且抛物线的焦点在x轴正半轴上， ∴所求抛物线的标准方程为y2＝82x，其准线方程分别为x＝-22. ? 归纳总结 确定抛物线的简单几何性质的三个要点 (1)开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准一次项是x还是y，一次项的系数是正还是负. (2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴. (3)定值：焦点到准线的距离为p； 过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p； 离心率恒等于1. 例2 斜率为1的直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长. 解：由题意可知， 焦点F的坐标为(1，0)，准线方程为x=-1. 于是 如图，设 A，B两点到准线的距离分别为 由抛物线的定义，可知 因为直线l的斜率为1，且过焦点F(1，0)，所以直线l的方程为 y=x-1 ① 将 ①代入方程 得 化简，得 x2-6x+1=0， 所以 所以，线段AB的长是8. 例2 斜率为1的直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长. 过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点这两点间的线段叫做抛物线的焦点弦. F A B x y O 焦点弦公式 归纳总结 例3 已知抛物线C：y2＝2x，直线l过定点(0，2)，讨论直线l与抛物线的公共点的情况. 解：(1)若直线l的斜率不存在，这时直线l即y轴所在直线，它与抛物线y2＝2x相切，即有一个公共点. (2)若直线l的斜率存在，记为k，依题可设y＝kx－2， 由方程组????2=2????????＝????????－2①消y整理得k2x2－(4k＋2)x＋4＝0②， 当k＝0时，由方程②得x＝2，代入y＝kx－2得y＝-2， 这时直线l与抛物线只有一个公共点(2，-2). ? 当k≠0时，方程②的判别式△＝[－(4k＋2)]2－4·k2·4＝16k＋4， 如果△＞0，解得k＞-14， 于是，当k＞-14且k≠0时，方程②有两个不相等的实数解，从而方程组①有 两组实数解，这时直线l与抛物线相交，有两个公共点. 如果△＝0，即当k＝-14 ... ...