高考数学二轮复习专题3数列第10讲等差数列与等比数列的基本量运算课时课件+基础练（含解析）

第10讲　等差数列与等比数列的基本量运算 基础回归 经典回眸 1．(2025·新高考Ⅱ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3=6，S5=－5，则S6=(　B　) A．－20 B．－15 C．－10 D．－5 【解析】 设等差数列{an}的公差为d，则由题可得 所以S6=6a1＋15d=6×5＋15×(－3)=－15. 2．(2024·全国甲卷)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9=1，则a3＋a7=(　D　) A．－2 B． C．1 D． 【解析】 方法一：(利用等差数列的基本量)由S9=1，根据等差数列的求和公式，得S9=9a1＋d=1，即9a1＋36d=1，则a3＋a7=a1＋2d＋a1＋6d=2a1＋8d=(9a1＋36d)=． 方法二：(利用等差数列的性质)根据等差数列的性质，得a1＋a9=a3＋a7.由S9=1，根据等差数列的求和公式，得S9===1，故a3＋a7=． 3．(2025·北京卷)已知{an}是公差不为零的等差数列，a1=－2，若a3，a4，a6成等比数列，则a10=(　C　) A．－20 B．－18 C．16 D．18 【解析】 设等差数列{an}的公差为d(d≠0)，因为a3，a4，a6成等比数列，且a1=－2，所以=a3a6，即(－2＋3d)2=(－2＋2d)(－2＋5d)，解得d=2或d=0(舍去)，所以a10=a1＋9d=－2＋9×2=16. 4．(人A 选必二P37练习T5改)如果一个等比数列的公比为q(q≠1)，前5项的和等于10，前10项的和等于50，则q5=　4　． 【解析】 依题意，设该数列的首项为a1，公比为q(q≠1)，前n项和为Sn，则S5==10，S10==50，所以=5，即=1＋q5=5，解得q5=4. 5．数列a，a2，a3，…，an的前m项和Sm=　　． 【解析】 当a=0时，数列是常数列，Sm=0；当a=1时，数列是常数列，Sm=m；当a≠0且a≠1时，数列是等比数列，Sm=．综上，Sm= 要点梳理 1．等差数列的通项公式与前n项和公式 (1) 若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an=　a1＋(n－1)d　=am＋　(n－m)d　(n，m∈N*)． (2) 前n项和公式：Sn=　　=　na1＋　=An2＋Bn． 2．等差数列的性质 (1) 若{an}为等差数列，且k＋l=m＋n(k，l，m，n∈N*)，则　ak＋al=am＋an　． (2) 若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为　md　的等差数列． (3) 若Sn为等差数列{an}(公差为d)的前n项和，则数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列，公差为　m2d 　． (4) 若Sn为等差数列{an}(公差为d)的前n项和，则数列为等差数列，公差为． 3．等比数列的通项公式及前n项和公式 (1) 若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则其通项公式为an=　a1qn－1　=amqn－m(m，n∈N*)． (2) 等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=na1；当q≠1时，Sn=　　=　　． 4．等比数列的性质 已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和． (1) 若k＋l=m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak·al=　am·an　．特别地，若m＋n=2r，则　aman=　． (2) 相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为　qm　． (3) 当q≠－1或q=－1且m为奇数时，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍成等比数列，其公比为　qm　． 举题固法 等差数列与等比数列基本量的计算 例 1　(1) (2024·新高考Ⅱ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3＋a4=7，3a2＋a5=5，则S10=　95　． 【解析】 因为数列{an}为等差数列，则由题意得解得则S10=10a1＋d=10×(－4)＋45×3=95. (2) (2025·新高考Ⅱ卷)(多选)记Sn为等比数列{an}的前n项和，q为{an}的公比，q＞0，若S3=7，a3=1，则(　AD　) A．q= B．a5= C．S5=8 D．an＋Sn=8 【解析】 对于A，由题意得结合q＞0，解得或(舍去)，故A正确；对于B，a5=a1q4=4×4=，故B错误；对于C，S5===，故C错误；对于D，an=4×n－1=23－n，Sn==8－2－n＋3，则an＋Sn=23－n＋8－23－n=8，故D正确． (2025·上海卷)已知等差数列{an}的首项a1=－3，公差d=2，则该数列的前6项和为 　12　． 【解析】 根据等差数列的求和公 ... ...