4.5相似三角形判定定理的证明 练习 北师大版数学九年级上册

5　相似三角形判定定理的证明 学用P 1.如图,在 ABCD中,E是AD的中点,EC交对角线BD于点F,则等于 (　D　) A. B.2 C. D. (第1题) (第2题) 2.如图,在△ABC中,点D在AB上,且∠ADC=∠ACB,过点D作DE∥BC交AC于点E,则下列式子不一定正确的是 (　B　) A.= B.= C.AC2=AD·AB D.= 3.如图,在△ABC中,P为AB边上一点,连接CP.在下列四个条件中:①∠ACP=∠B;②∠APC=∠ACB;③AC2=AP·AB;④AB·CP=AP·CB.能满足△APC与△ACB相似的条件是 (　A　) A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④ (第3题)　　(第4题) 4.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°.将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A'B'C,点B'在AB上,A'B'交AC于点F,则图中与△AB'F相似的三角形有(不再添加其他线段) (　D　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5.如图,点B,F,C,E在同一条直线上,AB∥DE,若使△ABC∽△DEF,则还需添加一个条件是　∠A=∠D(答案不唯一)　.(只需填一个) (第5题)　　　(第6题) 6.如图,在平行四边形ABCD中,E为AD的延长线上一点,且BC=2DE,BE交DC于点F.若CF=2,则DF的长为　1　. 7.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,E是AC的中点,直线ED交AB的延长线于点F,求证:AB·AF=AC·DF. (第7题) 证明:∵AD⊥BC, ∴∠ADB=90° =∠BAC. ∵∠CBA=∠ABD, ∴△CBA△∽ABD, ∴=, ∴=. ∵E是AC的中点, ∴ED=EC=AE,∴∠C=∠CDE. ∵∠CDE=∠BDF,∴∠C=∠BDF. ∵∠C+∠CAD=90°=∠BAD+∠CAD, ∴∠C=∠BAD,∴∠BDF=∠BAD. ∵∠DFB=∠AFD,∴△FDB∽△FAD, ∴=,∴=,∴AB·AF=AC·DF. 学用P 8.如图,点E是线段BC的中点,∠B=∠C=∠AED,则下列结论中错误的是 (　D　) A.∠AEB=∠CDE B.△ABE∽△ECD C.= D.∠BAE=∠ADE (第8题)　(第9题) 9.如图,△ABC是等腰直角三角形,∠C=90°,D为边BC上一点,连接AD,过点B作BE⊥AD,交AD的延长线于点E.若=,则的值为 　. (第10题) 10.如图,将矩形ABCD沿EF折叠,使顶点C恰好落在AB边的中点C'处,点D落在点D'处,C'D'交AE于点M.若AB=6,BC=9,则AM的长为 　. 11.如图,在△ABC中,AB=AC=6,∠BAC=120°,点D,E在BC上,连接AD,AE,且∠DAE=30°. (1)求证:AB2=DC·BE; (2)若BD=4,求DE的长. (第11题) (答案图) (1)证明:∵AB=AC,∠BAC=120°,∴∠B=∠C=30°. ∵∠AEB=∠C+∠CAE=30°+∠CAE, ∠DAC=∠DAE+∠CAE=30°+∠CAE, ∴∠AEB=∠DAC. 又∵∠B=∠C,∴△BAE∽△CDA, ∴==,∴AB2=DC·BE. (2)解:如答案图,过点A作AH⊥BC于点H. ∵AB=AC=6,∴BH=CH. ∵∠B=30°,∴AH=AB=3. ∴BH=AH=9.∴BC=2BH=18. ∵BD=4,∴CD=14. 由(1)知,AB2=DC·BE, ∴(6)2=14(4+DE),∴DE=. (敢于挑战,突破自我)学用P (第12题) 12.如图,在正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,AB上(点E不与点B,C重合),且AF=BE.连接AC,DF交于点G,连接AE,BG交于点H.若DF=4GH,则的值为 (　A　) A. B. C. D. 提示:设GH=a,则DF=4a,易证△DAF≌△ABE,△ABG≌△ADG,推出AH=BH=HE,作EQ∥AC,由此可证△EQH≌△AGH,可得BQ=QH=GH=a,DG=BG=3a,∴FG=a,易证△AGF∽△CGD,∴===.在Rt△AFD中,由勾股定理可得AD=a,则CG=AC=a,代入计算即可求解. 13.如图,正方形ABCD的边长为4,∠MDN=90°.将∠MDN绕点D旋转,其中DM边分别与射线BA,直线AC交于E,Q两点;DN边与射线BC交于点F,连接EF,EF与直线AC交于点P,连接DP. (1)如图,点E在线段AB上时: ①求证:AE=CF; ②求证:DP垂直平分EF; (2)当AE=1时,直接写出PQ的长. 　(第13题) (1)①证明:∵四边形ABCD是正方形, ∴DA=DC,∠ADC=∠DAE=∠BCD=90°, ∴∠ADC=∠MDN,∠DCF=90°=∠DAE, ∴∠ADE=∠CDF, ∴△ADE≌△CDF(ASA),∴AE=CF. ②证明:∵△ADE≌△CDF,∴DE=DF. ∵∠MDN=90°,∴∠DEF=45°. ∵∠DAC=45°,∴∠DAQ=∠PEQ. 又∵∠AQD=∠EQP,∴△AQD∽△EQP, ∴=,∴=. 又∵∠AQE=∠DQP,∴△AQE∽△DQP, ∴∠QDP=∠QAE=45°, ∴∠DPE=90°,∴DP ... ...