2025-2026学年北师大版八年级数学上册PPT★★ 2.2 平方根和立方根 （第1课时） 第二章 实数 情景引入 4????????2 ? 一个正方形的面积是4平方厘米，它的边长是多少？能否是负数？ 一张正方形桌子的桌面面积是25平方分米，它的边长是多少？ 25????????2 ? 在实际问题中，我们需要的是“正数的正平方根”———因为长度、面积等物理量不能为负 能否一中新的概念来表示这样数呢？ 接下来我们将学习这样的数！ 温故知新 (1)什么是平方运算? 通过以上问题，猜测一下：什么是算术平方根？如何求算术平方根？ 一个数乘与它自身的过程 (2)你能写出平方运算的数学表示吗? (3) 0的平方是多少？ 0的平方还是0 对于任意实数a，a的平方表示为a×a，记作????2 ? ※问题1 仔细观察下图，回答下列问题： 新知探究 探究1 算术平方根的概念 一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a，即 ????2=a，那么这个正数 x就叫作 a的算术平方根，记作 ????，读作“根号 a”. 0的算术平方根是0，即 0=0 ? S1 (1)如图，在图中的四个三角形中，若以每个三角形斜边长为正方形边长，那么对应正方形的面积分别为多少？ ????2=12+12=2; ? ????2=12+????2=1+2=3; ? ????2=12+????2=1+3=4; ? ????2=12+????2=1+4=5 ? (2)认真观察以上四个式子，可以发现，他们最终都是 的形式，且x,y,z,w都是 ????2=a ? 正数 1.以上x,y,z,w分别是多少？如何求出它们？ 典例分析 在解决以上问题后，我们发现只有正数才具有算术平方根，且算术平方根一定是非负数 探究1 算术平方根的概念 解：已知????2=2，平方结果为2的正数是2，所以x= 2 ? 同理，y=2； z=3； w=5. ? 2.下列各数没有算术平方根的是（ ） A. 0.81 B. 0 C. -36 D. 1625 ? C 3.已知x2=21，则x的算是平方根是? ? 21 ? 新知探究 探究2 算术平方根的运算性质 ※问题2 900=30 即 302=30?，那么????2=????成立吗 ？ ? 完成表格，通过表格所呈现的规律，我们一起探索其中的等式是否成立。 {5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}a的值 ????????（是否有意义） ???????? 结果与a的关系 5 0 ?5 {5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}a的值 结果与a的关系 5 0 ?5 有意义（25） 有意义（0） ? 有意义（25） 52=5 ? 02=0 ? (?5)2=5 ? 等于a 等于a 等于a （1）无论a取何数，a2始终成立，且当 a≥0 时， ；当 a<0 时， ? a2=a ? a2=?a ? （2）若不看a的取值范围，则 a2=|a| ? 新知探究 综上可得，当a≥0时 ，????????=????，????????=????；当a<0时 ，????????=?????.这个性质在今后计算中非常重要1 ? （1） （a）2中的a能为负数吗？ ? （2）结合????2=????的探究过程，你认为（a）2与a的关系是怎样的？交流讨论后得出结果. ? 探究2 算术平方根的运算性质 ※问题3 结合算术平方根的性质，共同交流探讨（a）2与a的关系 ? a不能为负数，且由算术平方根的定义可知，此处a只能大于或等于0 当a≥0时，（a）2=a ? 典例分析 在解决以上问题后，我们发现只有正数才具有算术平方根，且算术平方根一定是非负数 探究2 算术平方根的运算性质 3.下列说法正确的是（ ） A. 9=±3 B. ?16=?4 C. ?42=?4 D. 0.01=0.1 4.下列等式成立的是（ ） A. 72=?7 B. 112=?11 C. ?92=9 D. ?52=?5 ? a2=|a| ? a2=|a| ? （a）2=a ? BD C 算术平方根的定义：若????????=????，那么这个正数????就叫作????的算术平方根（0 的算术平方根是 0） ? 新知探究 归纳总结 算术平方根的性质： （1）????中的????为非负数 ? （2）结果非负：a≥0 ? （3）运算性质：a2=a；a2=∣a∣ ? 拓展提升 先利用a、b在数轴上的位置，再结合算术平方根的性质，得出需要化简的式子的每一部分的结果 已知实数a、b在数轴上的位置如图所示（数轴标注：b<-1<0
