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课件网) 第四章 指数与对数 4.1.2 指数幂的拓展 苏教版2019必修第一册·高一 学习目标 教学重点：指数幂的扩充过程；掌握分数指数幂的含义及其运算 教学难点：分数指数幂的规定与根式的联系；有理数指数幂的运算性质 了解根式运算与指数运算的内在联系; 掌握有理数指数幂的含义;理解实数指数幂的含义; 掌握有理数指数幂的运算性质，能熟练利用法则进行相关运算； 通过实数指数幂的扩充和相关运算，使学生了解指数幂运算的发展过程. 教学目标 学科素养 数学抽象：通过整数指数幂到实数指数幂的扩充，抽象一般形式； 逻辑推理：有理数指数幂运算规定的逻辑自洽，无理数指数幂的存在性； 数学运算：有理数指数幂的运算性质； 新知引入 情境1：薇甘菊危害热带、亚热带地区，是有害杂草之一，假设第一年它侵害土地的面积是S0 (单位hm2) ，且随着薇甘菊的扩张，后一年的侵害总面积是前一年的1.057倍. 问题1：第二年侵害总面积是多少？第三年？第四年？ 问题3：从第一年算起一年半之后侵害的总面积是多少？ 解：S1 = S0·1.057， S2 = S0·1.0572 问题2：你能提出薇甘菊侵害田地面积S与年数t(年)的关系式吗？ 解：S = S0·1.057t 解：S = S0·1.0571.5 1.5个1.057的乘积如何理解？指数不只限于整数！ 新知引入 问题4：实数是如何分类的？学习的顺序是什么？ 实数 0 无理数 有理数 分数 整数 负整数 正整数 整数 分数 有理数 无理数 实数 a? (n∈N) a? (n∈Q) a? (n∈ ? ) 新知探究 观察下面的变形： (2?)? = 210，两边同时开方得到 210 = 25 . 又由 5 = 10/2 ，得 210=2102. 类似地，我们可以得到3312=3123 、 5315=3155······ ? 问题5：你有什么发现？你能找出规律吗？ ????????????=????????????(????>0,????,????∈N?,????>1) ? 问题6：现在通过n次方根定义了指数为分数的分数指数幂，这个定义是否合理呢？ Tip：定义的合理性需要满足推广前的运算性质，可以借助运算性质来考察. 新知探究 整数指数幂的运算性质： ①a?·a? = a???； ②(a?)? = a??； ③(ab)? = a?b? ????????????=????????????(????>0,????,????∈N?,????>1) ? 目的：借助运算性质②检查????????????是否能定义为指数为分数的形式. ? 例：定义指数幂的形式：423=2????； 由4234=8和性质②2????4=23=24????； 得到4????=3，得????=34. ? 从运算性质验证了指数为分数的合理性！ 再例： 735=375 2=212 32=213 ? 将n次方根记为指数的分母； 将乘方记为指数的分子. 新知探究 ????????????=????????????(????>0,????,????∈N?,????>1) ? 指数能否是负分数呢？ 问题7：回顾所学，指数如何从正整数推广到整数？ 例：?????2=????2????4=1????2 →?????????=1???????? ? ??????????????= ? 1????????????=1???????????? ? 例： 2?2=122 2?12=1212 2?34=1234 ? 注意：0的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂没有意义. 新知呈现 a? (n∈Q) ????????????=???????????? ? ??????????????=1???????????? ? ????????·????????=????????+?? ????????????=???????????? ????????????=???????????????? 其中，????>0,????>0,????,????∈Q. ? 注意：我们将底数规定为正数，即a > 0，避免指数幂无意义的情况。举例如下： ?264=?232 ? 4(?2)6=?264 ? ?232=2(?2)3 ? 负数没有偶次方根. 有意义. 有理数指数幂 (1) (2) (3) (4) 典例精讲 例题1：求下列各式的值. 10012 ? 9?32 ? 823 ? 181?34 ? 解 （1）10012=10212=102×12=10 ? （2）823=2323=23×23=22=4 （3）9?32=32?32=3?3=127 （4）181?34=3?4?34=33=27 ? 10012=10212=102×12=10 ? 10012=100=10 ? Tip：尽量使用有理数指数幂进行计算，将计算过程限制在指数上. 消去 ... ...
