第22章 一元二次方程 22．1 一元二次方程 第1课时 学习内容 了解一元二次方程的概念；一般式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)及其派生的概念；应用一元二次方程概念解决一些简单题目． 学习目标 1．通过设置问题，建立数学模型，模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定义． 2．一元二次方程的一般形式及其有关概念． 3．解决一些概念性的题目． 4．通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学习热情． 学习重难点 重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题． 难点：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念． 学习过程 一、复习引入 1．古算趣题：“执竿进屋”． 笨人执竿要进屋，无奈门框拦住竹，横多四尺竖多二，没法急得放声哭． 有个邻居聪明者，教他斜竿对两角，笨人依言试一试，不多不少刚抵足． 借问竿长多少数，谁人算出我佩服． 如果假设竿的长为x尺，那么，这个门的宽为(x－4)尺，长为(x－2)尺， 根据题意，得(x－2)2＋(x－4)2＝x2. 整理、化简，得x2－12x＋20＝0. 2．如图，如果＝，那么点C叫做线段AB的黄金分割点． 如果假设AB＝1，AC＝x，那么BC＝1－x， 根据题意，得＝. 整理得x2＋x－1＝0. 3．有一面积为54 m2的长方形，将它的一边剪短5 m，另一边剪短2 m，恰好变成一个正方形，那么这个正方形的边长是多少？ 如果假设剪后的正方形边长为x m，那么原来长方形长是(x＋5)m，宽是(x＋2)m， 根据题意，得(x＋5)(x＋2)＝54. 整理，得x2＋2x－44＝0. 二、探究新知 请回答下面问题． (1)上面三个方程整理后含有几个未知数？ (2)按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？ (3)有等号吗？还是与多项式一样只有式子？ 解：(1)都只含一个未知数x.(2)它们的最高次数都是2次的．(3)都有等号，是方程． 因此，像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程． 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．这种形式叫做一元二次方程的一般形式． 一个一元二次方程经过整理化成ax2＋bx＋c＝0(a≠0)后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项． 例1：将方程3x(x－1)＝5(x＋2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项． 分析：一元二次方程的一般形式是ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．因此，方程3x(x－1)＝5(x＋2)必须运用整式运算进行整理，包括去括号、移项等． 解：一般形式为3x2－8x－10＝0，二次项系数为3，一次项系数为－8，常数项为－10. 注意：二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号. 例2：将方程(x＋1)2＋(x－2)(x＋2)＝1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项． 分析：通过完全平方公式和平方差公式把(x＋1)2＋(x－2)(x＋2)＝1化成ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的形式． 解：一般形式为x2＋x－2＝0.二次项为x2，二次项系数为1；一次项为x，一次项系数为1；常数项为－2. 三、巩固练习 1．判断下列方程是否为一元二次方程？ (1)3x＋2＝5y－3; (2) x2＝4；(3) 3x2－＝0； (4)x2－4＝(x＋2)2；(5) ax2＋bx＋c＝0. 解：(1)不是．(2)是．(3)不是．(4)不是．(5)是． 2．若x2－2xm－1＋3＝0是关于x的一元二次方程，求m的值． 解：m的值为1，2或3. 3．求证：关于x的方程(m2－8m＋17)x2＋2mx＋1＝0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程． 证明：m2－8m＋17＝(m－4)2＋1，∵(m－4)2≥0， ∴(m－4)2＋1>0，即(m－4)2＋1≠0， ∴不论m取何值，该方程都是一元二次方程． 四、学习小结 1．一元二 ... ...
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